נקודות קיצון — 3–5 יח״ל — כיתה י״א

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון

💡 מה צריך לדעת

בנקודת קיצון (מקסימום או מינימום) של פונקציה גזירה הנגזרת שווה לאפס, והיא מחליפה סימן. מוצאים את הנקודות החשודות כקיצון בפתרון f′(x) = 0, ואז בודקים בטבלה את סימן הנגזרת משני הצדדים: מ-+ ל-− זו נקודת מקסימום, ומ-− ל-+ נקודת מינימום. את שיעור ה-y מוצאים בהצבה בפונקציה המקורית.

פותרים f′(x) = 0 — לרוב משוואה ריבועית.
טבלת סימנים: בוחרים x בכל תחום ומציבים בנגזרת.
בפולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל חיובי, המקסימום משמאל למינימום.

דוגמה פתורה

מצאו את נקודות הקיצון של f(x) = x³ − 3x

f′(x) = 3x² − 3 = 0 ⇐ x = ±1
f′ חיובית משמאל ל-−1 ושלילית בין −1 ל-1: מקסימום ב-(−1, 2)
מינימום ב-(1, −2)

✅ תשובה: מקסימום (−1, 2), מינימום (1, −2)

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: פרבולה
מצאו בעזרת הנגזרת את שיעור ה-x של נקודת הקיצון של הפונקציה.
f(x) = −2x² − 7
✅ תשובה: 0
f′(x) = −4x = 0 ⇐ x = 0. זו נקודת מקסימום.
🟡 רמה 2: שיעורי x בפולינום ממעלה שלישית
מצאו את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון של הפונקציה. הקלידו את שניהם, מופרדים בפסיק.
f(x) = 4x³ + 12x² − 96x − 5
✅ תשובה: −4 , 2
f′(x) = 12x² + 24x − 96 = 12(x + 4)(x − 2). f′(x) = 0 ⇐ x = −4 או x = 2.
🔴 רמה 3: שיעור y של מקסימום/מינימום
מהו שיעור ה-y של נקודת המקסימום של הפונקציה?
f(x) = 2x³ − 9x² − 24x + 1
✅ תשובה: 14
f′(x) = 6(x + 1)(x − 4). המקדם המוביל חיובי, ולכן המקסימום ב-x = −1 והמינימום ב-x = 4. f(−1) = 14.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

ב-4 יח״ל חקירת פולינום ונקודות קיצון נלמדות בכיתה י׳; ב-5 יח״ל בעיות קיצון מתרחבות בכיתה י״א.

⬅️ לפני כן (כיתה י׳): אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל

➡️ אחר כך (כיתה י״ב): פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל · אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל · חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל · נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

מצאו בעזרת הנגזרת את שיעור ה-x של נקודת הקיצון של הפונקציה.

f(x) = 2x² + 4x

עוד נושאים לכיתה י״א

סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל משוואת המשיק — 3–5 יח״ל תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל משוואת המעגל — 4–5 יח״ל משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל התפלגות נורמלית — 3 יח״ל משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״א · מתמטיקה לכיתה י״א

נקודות קיצון — 3–5 יח״ל הוא נושא 7 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ותחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — פרבולה, רמה 2 — שיעורי x בפולינום ממעלה שלישית, רמה 3 — שיעור y של מקסימום/מינימום.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

האם כל נקודה שבה f′ = 0 היא נקודת קיצון?

לא. ב-f(x) = x³ הנגזרת מתאפסת ב-0, אבל אינה מחליפה סימן — זו נקודת פיתול, לא קיצון.

מה ההבדל בין קיצון מקומי לקיצון מוחלט?

קיצון מקומי הוא הגבוה/הנמוך ביותר בסביבתו; מוחלט — בכל התחום. בקטע סגור בודקים גם את קצות הקטע.

איפה נקודות קיצון — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-4 יח״ל חקירת פולינום ונקודות קיצון נלמדות בכיתה י׳; ב-5 יח״ל בעיות קיצון מתרחבות בכיתה י״א.

מה צריך לדעת לפני שלומדים נקודות קיצון — 3–5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י׳ בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

מה לומדים אחרי נקודות קיצון — 3–5 יח״ל?

בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל ונפח גוף סיבוב — 5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.

איך מתרגלים נקודות קיצון — 3–5 יח״ל בכיתה י״א?

בוחרים רמה (1 — פרבולה; 2 — שיעורי x בפולינום ממעלה שלישית; 3 — שיעור y של מקסימום/מינימום), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל, אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב, ומתמטיקה.