אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון
💡 מה צריך לדעת
האינטגרל המסוים של f מ-a עד b מחושב לפי המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי: מוצאים פונקציה קדומה F ומחשבים F(b) − F(a). כאשר הפונקציה חיובית בקטע, האינטגרל שווה לשטח שבין הגרף לציר ה-x. אם הפונקציה שלילית בחלק מהקטע, אותו חלק נספר בסימן שלילי. הנושא נלמד ב-4 וב-5 יח״ל.
- כותבים את F בסוגריים מרובעים עם הגבולות, ורק אז מציבים.
- הציבו קודם את הגבול העליון, אחר כך את התחתון, וחסרו.
- שימו לב לסוגריים כשמציבים מספר שלילי.
דוגמה פתורה
חשבו ∫₁³ (3x² − 2x) dx
- F(x) = x³ − x²
- F(3) = 27 − 9 = 18 ; F(1) = 1 − 1 = 0
- 18 − 0 = 18
✅ תשובה: 18
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: פונקציה קווית
חשבו את האינטגרל. כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
∫₂⁴ (−x − 9) dx
✅ תשובה: −24
F(x) = −(1/2)x² − 9x. F(4) − F(2) = −24.
- 🟡 רמה 2: פולינום ממעלה שנייה
חשבו את האינטגרל. כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
∫₀² (4x² − 6x − 9) dx
✅ תשובה: −58/3
F(x) = (4/3)x³ − 3x² − 9x. F(2) − F(0) = −58/3.
- 🔴 רמה 3: x² במכנה
חשבו את האינטגרל. כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
∫₂⁶ (4/x² − 4x) dx
✅ תשובה: −188/3
F(x) = −4/x − 2x². F(6) − F(2) = −188/3.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל הוא נושא 2 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל ונגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל.
ב-4 וב-5 יח״ל החשבון האינטגרלי נלמד בכיתה י״א, וב-י״ב מרחיבים לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.
⬅️ לפני כן (כיתה י״א): נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל · ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל · משוואת המשיק — 3–5 יח״ל · נקודות קיצון — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0חשבו את האינטגרל. כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
∫₋₁³ (3x − 9) dx
עוד נושאים לכיתה י״ב
אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל הוא נושא 2 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל ונגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — פונקציה קווית, רמה 2 — פולינום ממעלה שנייה, רמה 3 — x² במכנה.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
האם האינטגרל המסוים תמיד שווה לשטח?
רק כשהפונקציה חיובית בכל הקטע. אם הגרף מתחת לציר, האינטגרל שלילי והשטח הוא הערך המוחלט שלו.
מה קורה ל-C באינטגרל מסוים?
הוא מצטמצם: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a), ולכן לא כותבים אותו.
איפה אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 וב-5 יח״ל החשבון האינטגרלי נלמד בכיתה י״א, וב-י״ב מרחיבים לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.
מה צריך לדעת לפני שלומדים אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י״א בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ונקודות קיצון — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
איך מתרגלים אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל בכיתה י״ב?
בוחרים רמה (1 — פונקציה קווית; 2 — פולינום ממעלה שנייה; 3 — x² במכנה), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.