משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב

פונקציות · תיכון

💡 מה צריך לדעת

במשוואה מעריכית מנסים לכתוב את שני האגפים כחזקות של אותו בסיס ואז להשוות מעריכים: 2ˣ⁺¹ = 32 = 2⁵ ⇐ x + 1 = 5. כשאי אפשר — מפעילים לוגריתם: eˣ = 7 ⇐ x = ln 7. משוואה לוגריתמית פותרים לפי ההגדרה: log_b(y) = m ⇔ y = bᵐ, ובודקים שהביטוי שבתוך הלוגריתם חיובי. משוואה כמו 4ˣ − 6·2ˣ + 8 = 0 פותרים בהצבה t = 2ˣ.

4ˣ = (2ˣ)², 9ˣ = (3ˣ)² — שימושי להצבה.
ln הוא לוגריתם בבסיס e: ln(eˣ) = x.
אחרי פתרון משוואה לוגריתמית בודקים את תחום ההגדרה.

דוגמה פתורה

פתרו: log₂(x + 3) = 4

לפי ההגדרה: x + 3 = 2⁴ = 16
x = 13, ו-13 + 3 > 0

✅ תשובה: x = 13

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: השוואת בסיסים
פתרו את המשוואה. כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
2³ˣ⁻¹ = 2
✅ תשובה: 2/3
2 = 2¹, ולכן 3x − 1 = 1 ⇐ x = 2/3.
🟡 רמה 2: לוגריתם ובסיסים שונים
פתרו את המשוואה.
log₁₀(x + 7) = 1
✅ תשובה: 3
לפי ההגדרה: x + 7 = 10¹ = 10, ולכן x = 3.
🔴 רמה 3: e, ln והצבה
פתרו את המשוואה. עגלו ל-2 ספרות אחרי הנקודה.
ln(3x − 2) = 2
✅ תשובה: 3.13
לפי ההגדרה: 3x − 2 = e², ולכן x = (e² + 2) / 3 ≈ 3.13.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל הוא נושא 5 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום פונקציות, יחד עם לוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל.

ב-4 וב-5 יח״ל פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות נלמדות בכיתה י״ב.

⬅️ לפני כן (כיתה י״א): משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל · גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

פתרו את המשוואה. כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.

3ˣ⁻² = 1

עוד נושאים לכיתה י״ב

פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל לוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל וקטורים במרחב — 5 יח״ל מספרים מרוכבים — 5 יח״ל אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב · מתמטיקה לכיתה י״ב

משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל הוא נושא 5 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום פונקציות, יחד עם לוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — השוואת בסיסים, רמה 2 — לוגריתם ובסיסים שונים, רמה 3 — e, ln והצבה.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

מה עושים כשהבסיסים שונים?

מנסים לכתוב את שניהם כחזקות של בסיס משותף (8 = 2³, 4 = 2²). אם אין בסיס משותף — מפעילים log או ln על שני האגפים.

למה מתקבל לפעמים פתרון שנפסל?

כי לוגריתם מוגדר רק למספרים חיוביים. פתרון שהופך את הביטוי שבתוך הלוגריתם לאפס או לשלילי — נפסל.

איפה משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-4 וב-5 יח״ל פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות נלמדות בכיתה י״ב.

מה צריך לדעת לפני שלומדים משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י״א בתחום פונקציות: משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל וגדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

איך מתרגלים משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל בכיתה י״ב?

בוחרים רמה (1 — השוואת בסיסים; 2 — לוגריתם ובסיסים שונים; 3 — e, ln והצבה), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, לוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל, משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.