משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל — כיתה י״א

Q: למה ל-sin x = 1 יש פתרון אחד בלבד בתחום?

כי α = 90° ו-180° − α = 90° — שני הפתרונות מתלכדים.

Q: מה עושים כש-sin x = 2?

אין פתרון, כי ערכי הסינוס תמיד בין −1 ל-1.

Q: איפה משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-5 יח״ל זהויות ומשוואות טריגונומטריות נלמדות בכיתה י״א.

Q: מה צריך לדעת לפני שלומדים משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י׳ בתחום טריגונומטריה: משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל וטריגונומטריה במשולש ישר זווית — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

Q: מה לומדים אחרי משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל?

בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.

Q: איך מתרגלים משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל בכיתה י״א?

בוחרים רמה (1 — sin x או cos x; 2 — tan x ובידוד הפונקציה; 3 — 2x או משוואה ריבועית), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

טריגונומטריה · תיכון

💡 מה צריך לדעת

למשוואה טריגונומטרית יש בדרך כלל כמה פתרונות. לפי מעגל היחידה: sin x = sin α מתקיים כאשר x = α או x = 180° − α; cos x = cos α כאשר x = ±α; tan x = tan α כאשר x = α + 180°k. אחרי שמוצאים את הפתרון הכללי, בוחרים את הפתרונות שבתחום המבוקש. במשוואה ריבועית ב-sin x מציבים t = sin x, פותרים ובודקים שכל פתרון בין −1 ל-1. הנושא שייך ל-5 יח״ל.

זכרו את הערכים המיוחדים: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2.
sin חיובי ברביע ראשון ושני; cos חיובי ברביע ראשון ורביעי.
במשוואה עם 2x מחפשים פתרונות ל-2x בתחום 0° עד 720° ורק אז מחלקים ב-2.

דוגמה פתורה

פתרו: sin x = 1/2 בתחום 0° ≤ x < 360°

הזווית הבסיסית: 30°
הפתרון השני: 180° − 30° = 150°

✅ תשובה: x = 30°, 150°

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: sin x או cos x
פתרו את המשוואה בתחום 0° ≤ x < 360°. הקלידו את כל הפתרונות במעלות, מופרדים בפסיק.
cos x = −√3/2
✅ תשובה: 150 , 210 °
הזווית הבסיסית היא 150°, ולפי x = 360° − α מקבלים גם 210°. הפתרונות: 150°, 210°.
🟡 רמה 2: tan x ובידוד הפונקציה
פתרו את המשוואה בתחום 0° ≤ x < 360°. הקלידו את כל הפתרונות במעלות, מופרדים בפסיק.
tan x = 1/√3
✅ תשובה: 30 , 210 °
tan חוזר על עצמו כל 180°: x = 30° ו-x = 210°.
🔴 רמה 3: 2x או משוואה ריבועית
פתרו את המשוואה בתחום 0° ≤ x < 360°. הקלידו את כל הפתרונות במעלות, מופרדים בפסיק.
2sin²x + 3sin x + 1 = 0
✅ תשובה: 210 , 270 , 330 °
מציבים t = sin x: 2t² + 3t + 1 = 0, ולכן t = −1/2 או t = −1. פותרים כל אחת: 210°, 270°, 330°.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל הוא נושא 12 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום טריגונומטריה, יחד עם משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל.

ב-5 יח״ל זהויות ומשוואות טריגונומטריות נלמדות בכיתה י״א.

⬅️ לפני כן (כיתה י׳): משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל · מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל · טריגונומטריה במשולש ישר זווית — 3–5 יח״ל

➡️ אחר כך (כיתה י״ב): משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

פתרו את המשוואה בתחום 0° ≤ x < 360°. הקלידו את כל הפתרונות במעלות, מופרדים בפסיק.

cos x = −√3/2

°מפרידים בפסיק, למשל 2, −3

עוד נושאים לכיתה י״א

סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל משוואת המשיק — 3–5 יח״ל נקודות קיצון — 3–5 יח״ל תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל משוואת המעגל — 4–5 יח״ל משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל התפלגות נורמלית — 3 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״א · מתמטיקה לכיתה י״א

משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל הוא נושא 12 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום טריגונומטריה, יחד עם משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — sin x או cos x, רמה 2 — tan x ובידוד הפונקציה, רמה 3 — 2x או משוואה ריבועית.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

למה ל-sin x = 1 יש פתרון אחד בלבד בתחום?

כי α = 90° ו-180° − α = 90° — שני הפתרונות מתלכדים.

מה עושים כש-sin x = 2?

אין פתרון, כי ערכי הסינוס תמיד בין −1 ל-1.

איפה משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-5 יח״ל זהויות ומשוואות טריגונומטריות נלמדות בכיתה י״א.

מה צריך לדעת לפני שלומדים משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י׳ בתחום טריגונומטריה: משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל וטריגונומטריה במשולש ישר זווית — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

מה לומדים אחרי משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל?

בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.

איך מתרגלים משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל בכיתה י״א?

בוחרים רמה (1 — sin x או cos x; 2 — tan x ובידוד הפונקציה; 3 — 2x או משוואה ריבועית), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל, משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב, ומתמטיקה.