משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל — כיתה י״א

טריגונומטריה · תיכון

💡 מה צריך לדעת

במשולש כללי (לא בהכרח ישר זווית) משתמשים בשני משפטים. משפט הסינוסים: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R — מתאים כשידועות שתי זוויות וצלע, או שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן. משפט הקוסינוסים: a² = b² + c² − 2bc·cos α — מתאים כשידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות. הנושא נלמד ב-4 וב-5 יח״ל.

צלע a נמצאת מול הזווית α (מול הקודקוד A), b מול β ו-c מול γ.
סכום הזוויות במשולש 180° — כך מוצאים זווית שלישית.
לחישוב זווית לפי שלוש צלעות: cos α = (b² + c² − a²) / 2bc.

דוגמה פתורה

במשולש b = 5, c = 8, α = 60°. מצאו את a.

a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos 60°
a² = 89 − 40 = 49

✅ תשובה: a = 7

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: משפט הסינוסים
במשולש ABC נתונים צלע ושתי זוויות. מצאו את אורך הצלע b (מול הזווית β). עגלו ל-2 ספרות אחרי הנקודה.
a = 9 , α = 78° , β = 46° , b = ?
✅ תשובה: 6.62
לפי משפט הסינוסים: b = a · sin β / sin α = 9 · sin 46° / sin 78° ≈ 6.62.
🟡 רמה 2: משפט הקוסינוסים — צלע
במשולש ABC נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן. מצאו את אורך הצלע a. עגלו ל-2 ספרות אחרי הנקודה.
b = 9 , c = 5 , α = 92° , a = ?
✅ תשובה: 10.45
לפי משפט הקוסינוסים: a² = 9² + 5² − 2 · 9 · 5 · cos 92° ≈ 109.141, ולכן a ≈ 10.45.
🔴 רמה 3: משפט הקוסינוסים — זווית
במשולש ABC נתונות שלוש הצלעות. מצאו את גודל הזווית α (מול הצלע a) במעלות. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.
a = 3 , b = 4 , c = 5 , α = ?
✅ תשובה: 36.9 °
cos α = (b² + c² − a²) / 2bc = (16 + 25 − 9) / 40 = 4/5, ולכן α ≈ 36.9°.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל הוא נושא 10 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום טריגונומטריה, יחד עם משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל.

ב-4 יח״ל משפט הסינוסים נלמד בכיתה י״א; ב-5 יח״ל משפטי הסינוסים והקוסינוסים נלמדים בכיתה י׳.

⬅️ לפני כן (כיתה י׳): טריגונומטריה במשולש ישר זווית — 3–5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

במשולש ABC נתונים צלע ושתי זוויות. מצאו את אורך הצלע b (מול הזווית β). עגלו ל-2 ספרות אחרי הנקודה.

a = 9 , α = 35° , β = 88° , b = ?

עוד נושאים לכיתה י״א

סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל משוואת המשיק — 3–5 יח״ל נקודות קיצון — 3–5 יח״ל תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל משוואת המעגל — 4–5 יח״ל התפלגות נורמלית — 3 יח״ל משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״א · מתמטיקה לכיתה י״א

משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל הוא נושא 10 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום טריגונומטריה, יחד עם משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — משפט הסינוסים, רמה 2 — משפט הקוסינוסים — צלע, רמה 3 — משפט הקוסינוסים — זווית.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

איך יודעים באיזה משפט להשתמש?

אם יש זוג "צלע + הזווית שמולה" — משפט הסינוסים. אם יש שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות — משפט הקוסינוסים.

מה קורה כשהזווית ישרה?

cos 90° = 0, ומשפט הקוסינוסים הופך למשפט פיתגורס.

איפה משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-4 יח״ל משפט הסינוסים נלמד בכיתה י״א; ב-5 יח״ל משפטי הסינוסים והקוסינוסים נלמדים בכיתה י׳.

מה צריך לדעת לפני שלומדים משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י׳ בתחום טריגונומטריה: טריגונומטריה במשולש ישר זווית — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

איך מתרגלים משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל בכיתה י״א?

בוחרים רמה (1 — משפט הסינוסים; 2 — משפט הקוסינוסים — צלע; 3 — משפט הקוסינוסים — זווית), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל, טריגונומטריה במשולש ישר זווית — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.