ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל — כיתה י״א
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון
💡 מה צריך לדעת
ערך הנגזרת בנקודה x₀, כלומר f′(x₀), הוא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x = x₀. כדי לחשב אותו גוזרים את הפונקציה ואז מציבים את x₀ בנגזרת (ולא בפונקציה המקורית!). אם f′(x₀) > 0 הפונקציה עולה בסביבת הנקודה, ואם f′(x₀) < 0 — יורדת.
- קודם גוזרים, אחר כך מציבים.
- בהצבת מספר שלילי בחזקה — שימו סוגריים: (−2)² = 4.
- f′(x₀) = 0 פירושו משיק אופקי.
דוגמה פתורה
f(x) = x³ − 4x. מהו f′(2)?
- f′(x) = 3x² − 4
- f′(2) = 3 · 4 − 4 = 8
✅ תשובה: 8
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: פולינום ריבועי
מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה המבוקשת?
f(x) = −4x² + 3 , f′(−4) = ?
✅ תשובה: 32
f′(x) = −8x, ולכן f′(−4) = 32.
- 🟡 רמה 2: פולינום ממעלה שלישית
מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה המבוקשת?
f(x) = −2x³ − 6x² − 8x + 8 , f′(−2) = ?
✅ תשובה: −8
f′(x) = −6x² − 12x − 8, ולכן f′(−2) = −8.
- 🔴 רמה 3: x במכנה
מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה המבוקשת? כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
f(x) = −8/x − x² , f′(−4) = ?
✅ תשובה: 17/2
f′(x) = 8/x² − 2x. מציבים: 1/2 + 8 = 17/2.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל הוא נושא 5 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל, נקודות קיצון — 3–5 יח״ל ותחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל.
ב-4 וב-5 יח״ל הנגזרת של פולינום והמשיק נלמדים כבר בכיתה י׳.
➡️ אחר כך (כיתה י״ב): נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל · פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל · אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל · חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה המבוקשת?
f(x) = −5x² + 7x − 2 , f′(1) = ?
עוד נושאים לכיתה י״א
ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל הוא נושא 5 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל, נקודות קיצון — 3–5 יח״ל ותחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — פולינום ריבועי, רמה 2 — פולינום ממעלה שלישית, רמה 3 — x במכנה.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין f(2) ל-f′(2)?
f(2) הוא גובה הגרף בנקודה; f′(2) הוא השיפוע של הגרף באותה נקודה.
מה המשמעות של נגזרת שלילית?
הגרף יורד באותה נקודה — המשיק נוטה כלפי מטה משמאל לימין.
איפה ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 וב-5 יח״ל הנגזרת של פולינום והמשיק נלמדים כבר בכיתה י׳.
מה לומדים אחרי ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל?
בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל וחישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל בכיתה י״א?
בוחרים רמה (1 — פולינום ריבועי; 2 — פולינום ממעלה שלישית; 3 — x במכנה), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל, נקודות קיצון — 3–5 יח״ל, נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב, ומתמטיקה.