סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל — כיתה י״א

סדרות · תיכון

💡 מה צריך לדעת

סדרה חשבונית היא סדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע. ההפרש נקרא הפרש הסדרה ומסומן d. האיבר הכללי הוא aₙ = a₁ + (n − 1)d, וסכום n האיברים הראשונים הוא Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n(2a₁ + (n − 1)d)/2. כשנתונים שני איברים, מוצאים מהם את d ואת a₁ בעזרת מערכת משוואות.

d יכול להיות שלילי — אז הסדרה יורדת.
הפרש בין aₘ ל-aₖ הוא (m − k)·d.
בסכום כדאי לחשב קודם את aₙ ואז להשתמש ב-n(a₁ + aₙ)/2.

דוגמה פתורה

a₁ = 5, d = 3. מצאו את a₂₀ ואת S₂₀.

a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 62
S₂₀ = 20 · (5 + 62) / 2 = 670

✅ תשובה: a₂₀ = 62, S₂₀ = 670

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: איבר כללי
בסדרה חשבונית נתונים האיבר הראשון וההפרש. מצאו את האיבר המבוקש.
a₁ = −13 , d = −4 , a₂₃ = ?
✅ תשובה: −101
a₂₃ = a₁ + (23 − 1)d = −13 + 22 · (−4) = −101.
🟡 רמה 2: סכום n איברים
בסדרה חשבונית נתונים האיבר הראשון וההפרש. מצאו את סכום n האיברים הראשונים.
a₁ = 8 , d = 7 , S₆ = ?
✅ תשובה: 153
a₆ = 8 + 5 · 7 = 43. S₆ = 6 · (8 + 43) / 2 = 153.
🔴 רמה 3: מציאת הסדרה משני איברים
בסדרה חשבונית נתונים שני איברים. מצאו את סכום n האיברים הראשונים.
a₄ = 6 , a₁₄ = 16 , S₇ = ?
✅ תשובה: 42
(14 − 4)d = 16 − 6, ולכן d = 1. a₁ = a₄ − 3d = 3. S₇ = 7(2 · 3 + 6 · 1) / 2 = 42.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל הוא נושא 1 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום סדרות, יחד עם סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל.

ב-4 יח״ל סדרות (חשבונית והנדסית) נלמדות בכיתה י״ב. ב-5 יח״ל הסדרה החשבונית ברשימת הנושאים שלא יילמדו בתשפ״ז.

➡️ אחר כך (כיתה י״ב): אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

בסדרה חשבונית נתונים האיבר הראשון וההפרש. מצאו את האיבר המבוקש.

a₁ = 4 , d = 5 , a₁₇ = ?

עוד נושאים לכיתה י״א

סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל משוואת המשיק — 3–5 יח״ל נקודות קיצון — 3–5 יח״ל תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל משוואת המעגל — 4–5 יח״ל משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל התפלגות נורמלית — 3 יח״ל משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״א · מתמטיקה לכיתה י״א

סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל הוא נושא 1 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום סדרות, יחד עם סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — איבר כללי, רמה 2 — סכום n איברים, רמה 3 — מציאת הסדרה משני איברים.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

איך יודעים שסדרה היא חשבונית?

בודקים שההפרש aₙ₊₁ − aₙ זהה לכל n. למשל 4, 9, 14, 19 — ההפרש תמיד 5.

מה עושים כשנתונים שני איברים שאינם הראשון?

כותבים כל אחד בעזרת a₁ ו-d ופותרים מערכת. למשל a₃ = a₁ + 2d ו-a₈ = a₁ + 7d.

איפה סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-4 יח״ל סדרות (חשבונית והנדסית) נלמדות בכיתה י״ב. ב-5 יח״ל הסדרה החשבונית ברשימת הנושאים שלא יילמדו בתשפ״ז.

מה לומדים אחרי סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל?

בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.

איך מתרגלים סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל בכיתה י״א?

בוחרים רמה (1 — איבר כללי; 2 — סכום n איברים; 3 — מציאת הסדרה משני איברים), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל, אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל — כיתה י״ב, ומתמטיקה.