משוואת המעגל — 4–5 יח״ל — כיתה י״א

גאומטריה · תיכון

💡 מה צריך לדעת

משוואת מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו R היא (x − a)² + (y − b)² = R². אם המשוואה נתונה בצורה פתוחה x² + y² + Dx + Ey + F = 0, משלימים לריבוע כדי למצוא את המרכז והרדיוס. כדי למצוא משוואה של מעגל לפי המרכז ונקודה עליו, מחשבים את R² כמרחק בריבוע בין המרכז לנקודה. הנושא נלמד ב-4 וב-5 יח״ל.

(x + 3)² פירושו a = −3 — הסימן במשוואה הפוך לסימן השיעור.
באגף ימין מופיע R² ולא R.
השלמה לריבוע: x² − 6x = (x − 3)² − 9.

דוגמה פתורה

מצאו את המרכז והרדיוס של x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0

(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
(x − 3)² + (y + 2)² = 25

✅ תשובה: מרכז (3, −2), רדיוס 5

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: מרכז המעגל
מהו מרכז המעגל?
(x + 3)² + (y − 1)² = 81
אפשרויות: (3, −1) · (−3, 1) · (−3, −1) · (3, 1)
✅ תשובה: (−3, 1)
בצורה (x − a)² + (y − b)² = R² המרכז הוא (a, b). כאן a = −3, b = 1.
🟡 רמה 2: רדיוס מהצורה הפתוחה
מהו הרדיוס של המעגל?
x² + y² + 14x + 14y + 89 = 0
✅ תשובה: 3
משלימים לריבוע: (x + 7)² + (y + 7)² = 9. לכן R² = 9 ו-R = 3.
🔴 רמה 3: משוואה לפי מרכז ונקודה
מרכז המעגל הוא M(3, 6) והוא עובר דרך הנקודה P(−5, 5). מהי משוואת המעגל?
אפשרויות: (x + 3)² + (y + 6)² = 65 · (x − 3)² + (y − 6)² = 65 · (x − 3)² + (y − 6)² = 125 · (x − 3)² + (y − 6)² = 130
✅ תשובה: (x − 3)² + (y − 6)² = 65
R² = (−5 − 3)² + (5 − 6)² = 65. המשוואה: (x − 3)² + (y − 6)² = 65.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

משוואת המעגל — 4–5 יח״ל הוא נושא 9 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום גאומטריה.

ב-5 יח״ל משוואת המעגל נלמדת בגאומטריה האנליטית של כיתה י׳; ב-4 יח״ל המעגל (אנליטי ומישורי) נלמד בכיתה י״א.

⬅️ לפני כן (כיתה י׳): אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל · ישרים מקבילים וישרים מאונכים — 3–5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

מהו מרכז המעגל?

(x + 2)² + (y − 6)² = 16

עוד נושאים לכיתה י״א

סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל משוואת המשיק — 3–5 יח״ל נקודות קיצון — 3–5 יח״ל תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל התפלגות נורמלית — 3 יח״ל משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״א · מתמטיקה לכיתה י״א

משוואת המעגל — 4–5 יח״ל הוא נושא 9 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום גאומטריה. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — מרכז המעגל, רמה 2 — רדיוס מהצורה הפתוחה, רמה 3 — משוואה לפי מרכז ונקודה.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

איך יודעים אם נקודה נמצאת על המעגל?

מציבים את שיעוריה במשוואה: שוויון — על המעגל; אגף שמאל קטן מ-R² — בתוך המעגל; גדול — מחוצה לו.

מה המשוואה של מעגל שמרכזו בראשית?

x² + y² = R².

איפה משוואת המעגל — 4–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-5 יח״ל משוואת המעגל נלמדת בגאומטריה האנליטית של כיתה י׳; ב-4 יח״ל המעגל (אנליטי ומישורי) נלמד בכיתה י״א.

מה צריך לדעת לפני שלומדים משוואת המעגל — 4–5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י׳ בתחום גאומטריה: אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל וישרים מקבילים וישרים מאונכים — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

איך מתרגלים משוואת המעגל — 4–5 יח״ל בכיתה י״א?

בוחרים רמה (1 — מרכז המעגל; 2 — רדיוס מהצורה הפתוחה; 3 — משוואה לפי מרכז ונקודה), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.