אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל — כיתה י׳
גאומטריה · תיכון
💡 מה צריך לדעת
בגאומטריה אנליטית מתארים נקודות בעזרת שיעורים. אמצע הקטע AB הוא הממוצע של השיעורים: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). המרחק בין שתי נקודות מחושב לפי משפט פיתגורס: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). אלה כלים בסיסיים בכל רמות הלימוד (3, 4 ו-5 יח״ל) — לחישוב אורכי צלעות, היקפים ובדיקת סוגי מרובעים.
- באמצע קטע מחברים שיעורים ומחלקים ב-2; במרחק מחסרים ומעלים בריבוע.
- ההפרש בריבוע תמיד חיובי — לא משנה מאיזו נקודה מתחילים.
- אם ידוע האמצע M וקצה A, אז B = 2M − A (בכל שיעור בנפרד).
דוגמה פתורה
A(1, 2), B(7, 10). מצאו את אורך AB ואת אמצע הקטע.
- d = √(6² + 8²) = √100 = 10
- M = ((1 + 7)/2, (2 + 10)/2) = (4, 6)
✅ תשובה: AB = 10, M(4, 6)
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: אמצע קטע
מהו אמצע הקטע AB?
A(−8, −7) , B(2, 1)
אפשרויות: (−3, 3) · (5, 4) · (−3, −3) · (−6, −6)
✅ תשובה: (−3, −3)
M = ((−8 + 2)/2, (−7 + 1)/2) = (−3, −3).
- 🟡 רמה 2: מרחק שלם
מהו אורך הקטע AB?
A(0, −1) , B(−6, −9)
✅ תשובה: 10
d = √((−6)² + (−8)²) = √100 = 10.
- 🔴 רמה 3: קצה הקטע / מרחק מעוגל
הנקודה M היא אמצע הקטע AB. מהם שיעורי הנקודה B?
A(5, 5) , M(−5, 0)
אפשרויות: (−10, −5) · (−15, −5) · (0, 5) · (15, 10)
✅ תשובה: (−15, −5)
B = 2M − A: x = 2·−5 − 5 = −15, y = 2·0 − 5 = −5.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל הוא נושא 7 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום גאומטריה, יחד עם ישרים מקבילים וישרים מאונכים — 3–5 יח״ל.
ב-4 וב-5 יח״ל זו פתיחת הגאומטריה האנליטית בכיתה י׳.
⬅️ לפני כן (כיתה ט׳): פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים · דמיון משולשים
➡️ אחר כך (כיתה י״א): נקודות קיצון — 3–5 יח״ל · משוואת המעגל — 4–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהו אמצע הקטע AB?
A(7, −7) , B(−5, 5)
עוד נושאים לכיתה י׳
אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל הוא נושא 7 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום גאומטריה, יחד עם ישרים מקבילים וישרים מאונכים — 3–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — אמצע קטע, רמה 2 — מרחק שלם, רמה 3 — קצה הקטע / מרחק מעוגל.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
האם המרחק יכול לצאת מספר לא שלם?
בהחלט. לעיתים משאירים אותו כשורש (למשל √20) ולעיתים מעגלים לפי הנדרש בשאלה.
איך בודקים שמרובע הוא מקבילית?
אחת הדרכים: בודקים שהאלכסונים חוצים זה את זה — כלומר לשני האלכסונים יש אותה נקודת אמצע.
איפה אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 וב-5 יח״ל זו פתיחת הגאומטריה האנליטית בכיתה י׳.
מה צריך לדעת לפני שלומדים אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ט׳ בתחום גאומטריה: פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים ודמיון משולשים. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל?
בכיתה י״א ממשיכים באותו תחום אל נקודות קיצון — 3–5 יח״ל ומשוואת המעגל — 4–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל בכיתה י׳?
בוחרים רמה (1 — אמצע קטע; 2 — מרחק שלם; 3 — קצה הקטע / מרחק מעוגל), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י׳, מבחן במתמטיקה לכיתה י׳, ישרים מקבילים וישרים מאונכים — 3–5 יח״ל, פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים — כיתה ט׳, נקודות קיצון — 3–5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.
