משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל — כיתה י׳

אלגברה · תיכון

💡 מה צריך לדעת

משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה ax² + bx + c = 0 כאשר a ≠ 0. אפשר לפתור אותה בפירוק לגורמים (טרינום) או בנוסחת השורשים x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. הביטוי b² − 4ac נקרא דיסקרימיננטה: אם הוא חיובי יש שני פתרונות, אם הוא אפס יש פתרון אחד, ואם הוא שלילי אין פתרון. הנושא נלמד בכל הרמות — 3, 4 ו-5 יח״ל.

קודם מעבירים את כל האיברים לאגף אחד, כך שבאגף השני יהיה 0.
בטרינום x² + bx + c מחפשים שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b.
לפני נוסחת השורשים כדאי לחשב את הדיסקרימיננטה לבד — זה מונע טעויות סימן.

דוגמה פתורה

פתרו: x² − 5x + 6 = 0

מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם −5: אלה −2 ו-−3.
(x − 2)(x − 3) = 0
מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס.

✅ תשובה: x = 2 או x = 3

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: טרינום עם מקדם 1
פתרו את המשוואה. הקלידו את כל הפתרונות, מופרדים בפסיק.
x² + 16x + 63 = 0
✅ תשובה: −9 , −7
מפרקים לגורמים: (x + 9)(x + 7) = 0, ולכן x = −9 או x = −7.
🟡 רמה 2: מקדם מוביל שונה מ-1
פתרו את המשוואה. הקלידו את כל הפתרונות, מופרדים בפסיק.
3x² + 21x + 18 = 0
✅ תשובה: −6 , −1
מחלקים את המשוואה ב-3: x² + 7x + 6 = 0. מפרקים לגורמים: (x + 6)(x + 1) = 0, ולכן x = −6 או x = −1.
🔴 רמה 3: נוסחת השורשים ועיגול
פתרו בעזרת נוסחת השורשים. עגלו כל פתרון ל-2 ספרות אחרי הנקודה והקלידו את שניהם, מופרדים בפסיק.
3x² − 3x − 7 = 0
✅ תשובה: 2.11 , −1.11
a = 3, b = −3, c = −7. הדיסקרימיננטה: b² − 4ac = 93. x = (3 ± √93) / 6, ולכן x ≈ 2.11 או x ≈ −1.11.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

ב-3 יח״ל משוואות ממעלה ראשונה ושנייה הן חלק מאשכול "מדע וחברה" בכיתה י׳; ב-4 וב-5 יח״ל הן חלק מקדם-האנליזה של כיתה י׳.

⬅️ לפני כן (כיתה ט׳): משוואה ריבועית ונוסחת השורשים · נוסחאות הכפל המקוצר · פירוק לגורמים · צמצום שברים אלגבריים

➡️ אחר כך (כיתה י״א): משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

פתרו את המשוואה. הקלידו את כל הפתרונות, מופרדים בפסיק.

x² − 4x + 3 = 0

מפרידים בפסיק, למשל 2, −3

עוד נושאים לכיתה י׳

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י׳ · מתמטיקה לכיתה י׳

משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל הוא נושא 1 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום אלגברה, יחד עם מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל, אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל וחוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — טרינום עם מקדם 1, רמה 2 — מקדם מוביל שונה מ-1, רמה 3 — נוסחת השורשים ועיגול.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

מתי משתמשים בנוסחת השורשים ומתי בפירוק?

פירוק לגורמים מהיר כשהפתרונות שלמים ופשוטים. נוסחת השורשים עובדת תמיד, ולכן היא הבחירה הבטוחה כשלא רואים פירוק מיד.

מה עושים כשהדיסקרימיננטה שלילית?

אין למשוואה פתרון במספרים ממשיים. בבגרות כותבים "אין פתרון".

איך מקלידים שני פתרונות?

כותבים את שני הפתרונות מופרדים בפסיק, בכל סדר, למשל 2, −3.

איפה משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

מה צריך לדעת לפני שלומדים משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ט׳ בתחום אלגברה: משוואה ריבועית ונוסחת השורשים, נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים וצמצום שברים אלגבריים. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

מה לומדים אחרי משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל?

בכיתה י״א ממשיכים באותו תחום אל משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.

איך מתרגלים משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל בכיתה י׳?

בוחרים רמה (1 — טרינום עם מקדם 1; 2 — מקדם מוביל שונה מ-1; 3 — נוסחת השורשים ועיגול), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י׳, מבחן במתמטיקה לכיתה י׳, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל, אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל, חוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל, משוואה ריבועית ונוסחת השורשים — כיתה ט׳, משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.