נוסחאות הכפל המקוצר — כיתה ט׳
אלגברה · חטיבת ביניים
💡 מה צריך לדעת
נוסחאות הכפל המקוצר הן קיצורי דרך לפתיחת סוגריים נפוצים. ריבוע של סכום: (a + b)² = a² + 2ab + b². ריבוע של הפרש: (a − b)² = a² − 2ab + b². הפרש ריבועים: (a + b)(a − b) = a² − b². הטעות הנפוצה היא לשכוח את האיבר האמצעי 2ab — (a + b)² אינו a² + b².
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
דוגמה פתורה
פתחו: (3x − 2)²
- a = 3x, b = 2
- a² = 9x², 2ab = 12x, b² = 4
- 9x² − 12x + 4
✅ תשובה: 9x² − 12x + 4
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: (x ± a)²
פתחו לפי נוסחת הכפל המקוצר:
(x − 1)²
אפשרויות: x² + 2x + 1 · x² − 2x + 1 · x² + 1 · x² − x + 1
✅ תשובה: x² − 2x + 1
x² − 2 × 1 × x + 1² = x² − 2x + 1
- 🟡 רמה 2: הפרש ריבועים ו-(ax ± b)²
פתחו לפי נוסחת הכפל המקוצר:
(3x + 8)(3x − 8)
אפשרויות: 9x² − 48x − 64 · 3x² − 8 · 9x² − 64 · 9x² + 64
✅ תשובה: 9x² − 64
הפרש ריבועים: (3x)² − 8² = 9x² − 64
- 🔴 רמה 3: שני משתנים
פתחו לפי נוסחת הכפל המקוצר:
(x + 2y)²
אפשרויות: x² + 2xy + 4y² · x² − 4xy + 4y² · x² + 4xy + 4y² · x² + 4y²
✅ תשובה: x² + 4xy + 4y²
a = x, b = 2y: a² + 2ab + b² = x² + 4xy + 4y²
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
נוסחאות הכפל המקוצר הוא נושא 1 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום אלגברה, יחד עם פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים, משוואה ריבועית ונוסחת השורשים ומספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה).
בפריסה הרגילה של תשפ״ז זה הנושא הראשון של השנה (ספטמבר).
⬅️ לפני כן (כיתה ח׳): חוק הפילוג ופתיחת סוגריים · משוואות עם סוגריים ושברים · אי־שוויונים ממעלה ראשונה · מערכת משוואות עם שני נעלמים
➡️ אחר כך (כיתה י׳): משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל · מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל · אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל · חוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0פתחו לפי נוסחת הכפל המקוצר:
(x − 8)²
עוד נושאים לכיתה ט׳
נוסחאות הכפל המקוצר הוא נושא 1 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום אלגברה, יחד עם פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים, משוואה ריבועית ונוסחת השורשים ומספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה). בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — (x ± a)², רמה 2 — הפרש ריבועים ו-(ax ± b)², רמה 3 — שני משתנים.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
למה (a + b)² לא שווה a² + b²?
כי (a + b)² = (a + b)(a + b), ובפתיחת הסוגריים מתקבלים גם שני האיברים ab ו-ba, שיחד הם 2ab.
איך הנוסחאות עוזרות בחשבון בעל פה?
למשל 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601, ו-49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.
איפה נוסחאות הכפל המקוצר נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
בפריסה הרגילה של תשפ״ז זה הנושא הראשון של השנה (ספטמבר).
מה צריך לדעת לפני שלומדים נוסחאות הכפל המקוצר?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ח׳ בתחום אלגברה: חוק הפילוג ופתיחת סוגריים, משוואות עם סוגריים ושברים, אי־שוויונים ממעלה ראשונה ומערכת משוואות עם שני נעלמים. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי נוסחאות הכפל המקוצר?
בכיתה י׳ ממשיכים באותו תחום אל משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל, אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל וחוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים נוסחאות הכפל המקוצר בכיתה ט׳?
בוחרים רמה (1 — (x ± a)²; 2 — הפרש ריבועים ו-(ax ± b)²; 3 — שני משתנים), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה ט׳, מבחן במתמטיקה לכיתה ט׳, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים, משוואה ריבועית ונוסחת השורשים, חוק הפילוג ופתיחת סוגריים — כיתה ח׳, משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.