צמצום שברים אלגבריים — כיתה ט׳
אלגברה · חטיבת ביניים
💡 מה צריך לדעת
שבר אלגברי הוא שבר שיש משתנה במונה או במכנה. כדי לצמצם אותו מפרקים את המונה ואת המכנה לגורמים, ורק אז מצמצמים גורם שמופיע בשניהם — כמו בצמצום שבר רגיל. אסור לצמצם מחוברים: ב-(x + 6)/6 אי אפשר "למחוק" את ה-6. חשוב גם לזכור שהמכנה אינו יכול להיות אפס, ולכן יש ערכי x שאינם מותרים.
- קודם מפרקים לגורמים, אחר כך מצמצמים.
- מצמצמים רק גורמים (כופלים), לא מחוברים.
- (x² − 9)/(x − 3) = x + 3, בתנאי ש-x ≠ 3.
דוגמה פתורה
צמצמו: (x² + 5x + 6)/(x² − 4)
- מונה: (x + 2)(x + 3)
- מכנה: (x − 2)(x + 2)
- מצמצמים את (x + 2): (x + 3)/(x − 2)
✅ תשובה: (x + 3)/(x − 2)
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: גורם משותף
צמצמו את השבר (בתחום שבו המכנה אינו אפס):
(8x + 24)/8
אפשרויות: 8x + 3 · x − 3 · x + 3 · x + 24
✅ תשובה: x + 3
8x + 24 = 8(x + 3); מצמצמים ב-8: x + 3
- 🟡 רמה 2: הפרש ריבועים
צמצמו את השבר (בתחום שבו המכנה אינו אפס):
(x² − 49)/(x + 7)
אפשרויות: x² − 7 · x + 7 · x − 49 · x − 7
✅ תשובה: x − 7
x² − 49 = (x − 7)(x + 7); מצמצמים את (x + 7): x − 7
- 🔴 רמה 3: טרינום והפרש ריבועים
צמצמו את השבר (בתחום שבו המכנה אינו אפס):
(x² − 8x + 12)/(x² − 36)
אפשרויות: (x − 6)/(x + 2) · (x − 2)/(x + 6) · (x + 2)/(x − 6) · (x − 2)/(x − 6)
✅ תשובה: (x − 2)/(x + 6)
מונה: (x − 6)(x − 2); מכנה: (x + 6)(x − 6); מצמצמים את (x − 6): (x − 2)/(x + 6)
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
צמצום שברים אלגבריים הוא נושא 3 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום אלגברה, יחד עם נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, משוואה ריבועית ונוסחת השורשים ומספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה).
בפריסה הרגילה של תשפ״ז צמצום, כפל וחילוק של שברים אלגבריים נלמדים באוקטובר.
⬅️ לפני כן (כיתה ח׳): משוואות עם סוגריים ושברים · חוק הפילוג ופתיחת סוגריים · אי־שוויונים ממעלה ראשונה · מערכת משוואות עם שני נעלמים
➡️ אחר כך (כיתה י׳): משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל · מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל · אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל · חוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0צמצמו את השבר (בתחום שבו המכנה אינו אפס):
(x² + 5x)/x
עוד נושאים לכיתה ט׳
צמצום שברים אלגבריים הוא נושא 3 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום אלגברה, יחד עם נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, משוואה ריבועית ונוסחת השורשים ומספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה). בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — גורם משותף, רמה 2 — הפרש ריבועים, רמה 3 — טרינום והפרש ריבועים.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
למה אסור לצמצם מחוברים?
כי צמצום הוא חילוק של המונה והמכנה באותו גורם. ב-(x + 6)/6 חילוק ב-6 נותן (x/6 + 1)/1 ולא x.
מהו תחום ההגדרה של שבר אלגברי?
כל ערכי x שעבורם המכנה אינו אפס. למשל ב-(x + 1)/(x − 5) צריך x ≠ 5.
איפה צמצום שברים אלגבריים נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
בפריסה הרגילה של תשפ״ז צמצום, כפל וחילוק של שברים אלגבריים נלמדים באוקטובר.
מה צריך לדעת לפני שלומדים צמצום שברים אלגבריים?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ח׳ בתחום אלגברה: משוואות עם סוגריים ושברים, חוק הפילוג ופתיחת סוגריים, אי־שוויונים ממעלה ראשונה ומערכת משוואות עם שני נעלמים. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי צמצום שברים אלגבריים?
בכיתה י׳ ממשיכים באותו תחום אל משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל, אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל וחוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים צמצום שברים אלגבריים בכיתה ט׳?
בוחרים רמה (1 — גורם משותף; 2 — הפרש ריבועים; 3 — טרינום והפרש ריבועים), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה ט׳, מבחן במתמטיקה לכיתה ט׳, נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, משוואה ריבועית ונוסחת השורשים, משוואות עם סוגריים ושברים — כיתה ח׳, משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.