פרבולה: קודקוד וציר סימטריה — כיתה ט׳
פונקציות · חטיבת ביניים
💡 מה צריך לדעת
הגרף של פונקציה ריבועית y = ax² + bx + c הוא פרבולה. אם a > 0 הפרבולה "מחייכת" והקודקוד הוא נקודת המינימום, ואם a < 0 היא "בוכה" והקודקוד הוא נקודת המקסימום. שיעור ה-x של הקודקוד הוא x = −b / 2a, ומציבים אותו בפונקציה כדי למצוא את שיעור ה-y. ציר הסימטריה הוא הישר האנכי שעובר דרך הקודקוד. בצורת הקודקוד y = (x − h)² + k הקודקוד הוא (h, k).
- x של הקודקוד = −b ÷ 2a.
- y של הקודקוד: מציבים את ה-x בפונקציה.
- ב-y = (x − 3)² + 5 הקודקוד (3, 5); ב-y = (x + 3)² + 5 הקודקוד (−3, 5).
דוגמה פתורה
מצאו את קודקוד הפרבולה y = x² − 6x + 5
- x = −(−6) ÷ (2 × 1) = 3
- y = 9 − 18 + 5 = −4
✅ תשובה: (3, −4)
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: צורת קודקוד
מהו קודקוד הפרבולה?
y = (x − 5)² + 12
אפשרויות: (5, −12) · (5, 12) · (12, 5) · (−5, 12)
✅ תשובה: (5, 12)
בצורה y = (x − h)² + k הקודקוד הוא (h, k): (5, 12)
- 🟡 רמה 2: y = x² + bx + c
מהו קודקוד הפרבולה?
y = x² + 6x + 12
אפשרויות: (3, 3) · (−3, −3) · (−3, 3) · (−3, 12)
✅ תשובה: (−3, 3)
x = −b ÷ 2a = −6 ÷ 2 = −3; y = 1 × (−3)² + 6 × (−3) + 12 = 3 ← (−3, 3)
- 🔴 רמה 3: y = ax² + bx + c
מהו קודקוד הפרבולה?
y = −x² + 14x − 58
אפשרויות: (7, −58) · (7, −9) · (−7, −9) · (7, 9)
✅ תשובה: (7, −9)
x = −b ÷ 2a = −14 ÷ (−2) = 7; y = −1 × 7² + 14 × 7 + (−58) = −9 ← (7, −9)
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
פרבולה: קודקוד וציר סימטריה הוא נושא 6 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום פונקציות, יחד עם פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים.
בפריסה הרגילה של תשפ״ז הפונקציה הריבועית נלמדת בנובמבר (כ-14 שעות): הזזות, הצגת מכפלה והצגה סטנדרטית.
⬅️ לפני כן (כיתה ח׳): שיפוע של ישר · הפונקציה הקווית y = mx + b
➡️ אחר כך (כיתה י׳): חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל · פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל · שיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהו קודקוד הפרבולה?
y = (x + 6)² − 8
עוד נושאים לכיתה ט׳
פרבולה: קודקוד וציר סימטריה הוא נושא 6 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום פונקציות, יחד עם פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — צורת קודקוד, רמה 2 — y = x² + bx + c, רמה 3 — y = ax² + bx + c.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
מה זה ציר הסימטריה?
ישר אנכי x = h העובר דרך הקודקוד. הפרבולה סימטרית סביבו: נקודות באותו גובה נמצאות במרחק שווה ממנו.
איך יודעים אם הקודקוד הוא מינימום או מקסימום?
לפי סימן המקדם a של x²: חיובי — מינימום (הפרבולה פתוחה למעלה), שלילי — מקסימום (פתוחה למטה).
איפה פרבולה: קודקוד וציר סימטריה נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
בפריסה הרגילה של תשפ״ז הפונקציה הריבועית נלמדת בנובמבר (כ-14 שעות): הזזות, הצגת מכפלה והצגה סטנדרטית.
מה צריך לדעת לפני שלומדים פרבולה: קודקוד וציר סימטריה?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ח׳ בתחום פונקציות: שיפוע של ישר והפונקציה הקווית y = mx + b. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי פרבולה: קודקוד וציר סימטריה?
בכיתה י׳ ממשיכים באותו תחום אל חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל, פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל ושיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים פרבולה: קודקוד וציר סימטריה בכיתה ט׳?
בוחרים רמה (1 — צורת קודקוד; 2 — y = x² + bx + c; 3 — y = ax² + bx + c), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה ט׳, מבחן במתמטיקה לכיתה ט׳, פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים, שיפוע של ישר — כיתה ח׳, חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.