משוואה ריבועית ונוסחת השורשים — כיתה ט׳
אלגברה · חטיבת ביניים
💡 מה צריך לדעת
משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה ax² + bx + c = 0, כאשר a ≠ 0. יש לה לכל היותר שני פתרונות. משוואות פשוטות פותרים בפירוק לגורמים: אם מכפלה שווה לאפס, אחד הגורמים שווה לאפס. במקרה הכללי משתמשים בנוסחת השורשים: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
- x² = 25 ← x = 5 או x = −5 (לא לשכוח את הפתרון השלילי).
- x² − 7x = 0 ← x(x − 7) = 0 ← x = 0 או x = 7.
- בנוסחת השורשים מחשבים קודם את הדיסקרימיננטה b² − 4ac.
דוגמה פתורה
פתרו: 2x² − 7x + 3 = 0
- a = 2, b = −7, c = 3
- b² − 4ac = 49 − 24 = 25, √25 = 5
- x = (7 ± 5) / 4 ← x = 3 או x = 0.5
✅ תשובה: x = 3, x = 0.5
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: x² = k ו-x(x − a) = 0
פתרו את המשוואה (רשמו את שני הפתרונות מופרדים בפסיק):
x² − 4x = 0
✅ תשובה: 0 , 4
x(x − 4) = 0 ← x = 0 או x = 4
- 🟡 רמה 2: טרינום עם a = 1
פתרו את המשוואה (רשמו את שני הפתרונות מופרדים בפסיק):
x² − 18x + 80 = 0
✅ תשובה: 8 , 10
מחפשים שני מספרים שמכפלתם 80 וסכומם −18: (x − 8)(x − 10) = 0 ← x = 8 או x = 10
- 🔴 רמה 3: נוסחת השורשים (a ≠ 1)
פתרו את המשוואה (רשמו את שני הפתרונות מופרדים בפסיק):
5x² + 4x − 12 = 0
✅ תשובה: −2 , 1.2
a = 5, b = 4, c = −12; b² − 4ac = 256, √256 = 16; x = (−4 ± 16) / 10 ← x = −2 או x = 1.2
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
משוואה ריבועית ונוסחת השורשים הוא נושא 4 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום אלגברה, יחד עם נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים ומספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה).
בפריסה הרגילה של תשפ״ז נוסחת השורשים נלמדת בנובמבר, ומשוואות ריבועיות ויישומים בדצמבר.
⬅️ לפני כן (כיתה ח׳): חוק הפילוג ופתיחת סוגריים · משוואות עם סוגריים ושברים · אי־שוויונים ממעלה ראשונה · מערכת משוואות עם שני נעלמים
➡️ אחר כך (כיתה י׳): פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל · משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל · חוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל · מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0פתרו את המשוואה (רשמו את שני הפתרונות מופרדים בפסיק):
x² − 196 = 0
עוד נושאים לכיתה ט׳
משוואה ריבועית ונוסחת השורשים הוא נושא 4 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום אלגברה, יחד עם נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים ומספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה). בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — x² = k ו-x(x − a) = 0, רמה 2 — טרינום עם a = 1, רמה 3 — נוסחת השורשים (a ≠ 1).
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
איך כותבים שני פתרונות?
רושמים את שניהם, למשל x₁ = 3, x₂ = −2. בתרגול כאן מקלידים את שני המספרים מופרדים בפסיק.
מה עושים אם b² − 4ac שלילי?
אז אין למשוואה פתרון (במספרים ממשיים), כי אי אפשר להוציא שורש ממספר שלילי.
איפה משוואה ריבועית ונוסחת השורשים נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
בפריסה הרגילה של תשפ״ז נוסחת השורשים נלמדת בנובמבר, ומשוואות ריבועיות ויישומים בדצמבר.
מה צריך לדעת לפני שלומדים משוואה ריבועית ונוסחת השורשים?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ח׳ בתחום אלגברה: חוק הפילוג ופתיחת סוגריים, משוואות עם סוגריים ושברים, אי־שוויונים ממעלה ראשונה ומערכת משוואות עם שני נעלמים. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי משוואה ריבועית ונוסחת השורשים?
בכיתה י׳ ממשיכים באותו תחום אל פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל, משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, חוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל ומערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים משוואה ריבועית ונוסחת השורשים בכיתה ט׳?
בוחרים רמה (1 — x² = k ו-x(x − a) = 0; 2 — טרינום עם a = 1; 3 — נוסחת השורשים (a ≠ 1)), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה ט׳, מבחן במתמטיקה לכיתה ט׳, נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים, חוק הפילוג ופתיחת סוגריים — כיתה ח׳, פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.