מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל — כיתה י׳
אלגברה · תיכון
💡 מה צריך לדעת
מערכת של שתי משוואות ליניאריות בשני נעלמים (x ו-y) פותרים בשתי דרכים עיקריות: שיטת ההצבה — מבודדים נעלם באחת המשוואות ומציבים בשנייה, ושיטת השוואת המקדמים — מכפילים את המשוואות כך שמקדמי אחד הנעלמים יהיו נגדיים ואז מחברים. הפתרון הוא זוג מספרים (x, y) שמקיים את שתי המשוואות יחד, והוא נקודת החיתוך של שני הישרים.
- בחרו לבודד את הנעלם שהמקדם שלו 1 או −1 — כך נמנעים משברים.
- אחרי שמצאתם נעלם אחד, הציבו אותו באחת המשוואות המקוריות כדי למצוא את השני.
- בדיקה: הציבו את שני הערכים בשתי המשוואות.
דוגמה פתורה
פתרו: 2x + y = 11 , x − y = 1
- מחברים את המשוואות: 3x = 12, ולכן x = 4.
- מציבים במשוואה השנייה: 4 − y = 1, ולכן y = 3.
✅ תשובה: x = 4, y = 3
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: סכום והפרש
פתרו את מערכת המשוואות. מהו ערך y?
x + y = 7 , x − y = −3
✅ תשובה: 5
אפשר לפתור בהצבה או בהשוואת מקדמים. הפתרון: x = 2, y = 5. בדיקה במשוואה הראשונה: 1·2 + 1·5 = 7.
- 🟡 רמה 2: מקדמים חיוביים
פתרו את מערכת המשוואות. מהו ערך x?
x + 2y = 1 , 2x + 2y = 8
✅ תשובה: 7
אפשר לפתור בהצבה או בהשוואת מקדמים. הפתרון: x = 7, y = −3. בדיקה במשוואה הראשונה: 1·7 + 2·(−3) = 1.
- 🔴 רמה 3: מקדמים שליליים
פתרו את מערכת המשוואות. מהו ערך x?
−2x − 5y = −35 , 7x + 9y = 80
✅ תשובה: 5
אפשר לפתור בהצבה או בהשוואת מקדמים. הפתרון: x = 5, y = 5. בדיקה במשוואה הראשונה: −2·5 + −5·5 = −35.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל הוא נושא 2 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום אלגברה, יחד עם משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל וחוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל.
⬅️ לפני כן (כיתה ט׳): נוסחאות הכפל המקוצר · פירוק לגורמים · צמצום שברים אלגבריים · משוואה ריבועית ונוסחת השורשים
➡️ אחר כך (כיתה י״א): משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0פתרו את מערכת המשוואות. מהו ערך y?
x + y = 22 , x − y = 8
עוד נושאים לכיתה י׳
מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל הוא נושא 2 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום אלגברה, יחד עם משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל וחוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — סכום והפרש, רמה 2 — מקדמים חיוביים, רמה 3 — מקדמים שליליים.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
מה המשמעות הגרפית של הפתרון?
כל משוואה מייצגת ישר, והפתרון הוא נקודת החיתוך של שני הישרים. ישרים מקבילים — אין פתרון.
איזו שיטה עדיפה?
כשנעלם כבר מבודד או שהמקדם שלו 1, הצבה נוחה יותר. כשהמקדמים גדולים, השוואת מקדמים לרוב מהירה יותר.
מה צריך לדעת לפני שלומדים מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ט׳ בתחום אלגברה: נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים ומשוואה ריבועית ונוסחת השורשים. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל?
בכיתה י״א ממשיכים באותו תחום אל משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל בכיתה י׳?
בוחרים רמה (1 — סכום והפרש; 2 — מקדמים חיוביים; 3 — מקדמים שליליים), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י׳, מבחן במתמטיקה לכיתה י׳, משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל, חוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל, נוסחאות הכפל המקוצר — כיתה ט׳, משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.