אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל — כיתה י׳
אלגברה · תיכון
💡 מה צריך לדעת
פותרים אי־שוויון ממעלה ראשונה כמו משוואה, עם כלל אחד חשוב: כשמכפילים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי, הופכים את כיוון סימן אי־השוויון. באי־שוויון ריבועי מוצאים קודם את שורשי הביטוי, משרטטים סקיצה של הפרבולה ובודקים איפה היא מעל ציר ה-x (חיובית) ואיפה מתחתיו (שלילית).
- חילוק במספר שלילי — הופכים את הסימן: −2x > 6 ⟸ x < −3.
- פרבולה "מחייכת" (a > 0) שלילית בין השורשים וחיובית מחוץ להם.
- הסימנים ≤ ו-≥ כוללים גם את נקודות הקצה.
דוגמה פתורה
פתרו: x² − x − 6 < 0
- שורשי הביטוי: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), כלומר x = 3 ו-x = −2.
- הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן שלילית בין השורשים.
✅ תשובה: −2 < x < 3
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: מעלה ראשונה, מקדם חיובי
פתרו את אי־השוויון. איזו תשובה נכונה?
5x + 2 ≥ 32
אפשרויות: x ≥ 6 · x ≤ 6 · x ≥ −6 · x ≥ 7
✅ תשובה: x ≥ 6
מכנסים איברים: 5x ≥ 30. מחלקים ב-5: x ≥ 6.
- 🟡 רמה 2: משתנה בשני האגפים
פתרו את אי־השוויון. איזו תשובה נכונה?
−6x − 2 < 3x + 25
אפשרויות: x < −3 · x > −3 · x > −2 · x > 3
✅ תשובה: x > −3
מכנסים איברים: −9x < 27. מחלקים ב-−9 (מספר שלילי) ולכן הופכים את הסימן: x > −3.
- 🔴 רמה 3: אי־שוויון ריבועי
פתרו את אי־השוויון. איזו תשובה נכונה?
x² + 12x + 35 ≥ 0
אפשרויות: x ≤ −7 או x ≥ −5 · −7 ≤ x ≤ −5 · x < −7 או x > −5 · x ≤ 5 או x ≥ 7
✅ תשובה: x ≤ −7 או x ≥ −5
שורשי הביטוי: x = −7 ו-x = −5. הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן היא חיובית מחוץ לשורשים: x ≤ −7 או x ≥ −5.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל הוא נושא 4 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום אלגברה, יחד עם משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל וחוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל.
⬅️ לפני כן (כיתה ט׳): נוסחאות הכפל המקוצר · פירוק לגורמים · צמצום שברים אלגבריים · משוואה ריבועית ונוסחת השורשים
➡️ אחר כך (כיתה י״ב): מספרים מרוכבים — 5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0פתרו את אי־השוויון. איזו תשובה נכונה?
9x − 6 < −6
עוד נושאים לכיתה י׳
אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל הוא נושא 4 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום אלגברה, יחד עם משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל וחוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — מעלה ראשונה, מקדם חיובי, רמה 2 — משתנה בשני האגפים, רמה 3 — אי־שוויון ריבועי.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
למה הופכים את הסימן כשמחלקים במספר שלילי?
כי כפל במספר שלילי הופך את הסדר: 2 < 5, אבל −2 > −5.
מה ההבדל בין "או" ל"וגם" בתשובה?
תחום כמו −2 < x < 3 הוא "וגם" (בין שני המספרים). "x < −2 או x > 3" הם שני תחומים נפרדים מחוץ לשורשים.
מה צריך לדעת לפני שלומדים אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ט׳ בתחום אלגברה: נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים ומשוואה ריבועית ונוסחת השורשים. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל?
בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל מספרים מרוכבים — 5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל בכיתה י׳?
בוחרים רמה (1 — מעלה ראשונה, מקדם חיובי; 2 — משתנה בשני האגפים; 3 — אי־שוויון ריבועי), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י׳, מבחן במתמטיקה לכיתה י׳, משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל, חוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל, נוסחאות הכפל המקוצר — כיתה ט׳, מספרים מרוכבים — 5 יח״ל — כיתה י״ב, ומתמטיקה.