פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל — כיתה י׳
פונקציות · תיכון
💡 מה צריך לדעת
הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה. שיעור ה-x של הקודקוד הוא x = −b / 2a, ואת שיעור ה-y מוצאים בהצבה. כאשר a > 0 הפרבולה פתוחה כלפי מעלה והקודקוד הוא נקודת מינימום; כאשר a < 0 היא פתוחה כלפי מטה והקודקוד הוא נקודת מקסימום. בצורת הקודקוד y = a(x − p)² + q הקודקוד הוא פשוט (p, q). מתאים ל-3, 4 ו-5 יח״ל.
- x של הקודקוד = −b / 2a — שימו לב לסימן של b.
- בצורה a(x − p)² + q: הקודקוד (p, q). שימו לב ש-(x + 2)² פירושו p = −2.
- חיתוך עם ציר ה-x: מציבים y = 0 ופותרים.
דוגמה פתורה
מצאו את קודקוד הפרבולה y = x² − 6x + 5
- x = −(−6) / (2·1) = 3
- y = 3² − 6·3 + 5 = −4
✅ תשובה: הקודקוד (3, −4), נקודת מינימום
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: x של הקודקוד
מהו שיעור ה-x של קודקוד הפרבולה?
y = x² − 8x + 8
✅ תשובה: 4
x = −b / 2a = 8 / 2 = 4.
- 🟡 רמה 2: y של הקודקוד, a ≠ 1
מהו שיעור ה-y של קודקוד הפרבולה?
y = 3x² − 18x + 26
✅ תשובה: −1
x = −b / 2a = 18 / 6 = 3. מציבים: y = −1. מכיוון ש-a > 0 זו נקודת מינימום.
- 🔴 רמה 3: חיתוך עם ציר x מצורת קודקוד
מצאו את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x. הקלידו את שניהם, מופרדים בפסיק.
y = 3(x − 4)² − 75
✅ תשובה: −1 , 9
מציבים y = 0: (x − 4)² = 25, ולכן x − 4 = ±5, כלומר x = −1 או x = 9.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל הוא נושא 6 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום פונקציות, יחד עם חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל ושיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל.
ב-4 יח״ל הפונקציה הריבועית נלמדת בקדם-אנליזה בכיתה י׳; ב-3 יח״ל המודל הריבועי נלמד בכיתה י״ב.
⬅️ לפני כן (כיתה ט׳): פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים · משוואה ריבועית ונוסחת השורשים · פרבולה: קודקוד וציר סימטריה · מספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה)
➡️ אחר כך (כיתה י״א): גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהו שיעור ה-x של קודקוד הפרבולה?
y = x² − 12x − 3
עוד נושאים לכיתה י׳
פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל הוא נושא 6 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י׳, בתחום פונקציות, יחד עם חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל ושיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — x של הקודקוד, רמה 2 — y של הקודקוד, a ≠ 1, רמה 3 — חיתוך עם ציר x מצורת קודקוד.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
איך יודעים אם הקודקוד הוא מינימום או מקסימום?
לפי הסימן של a: חיובי — מינימום (פרבולה "מחייכת"), שלילי — מקסימום.
מה הקשר בין הקודקוד לשורשים?
הקודקוד נמצא בדיוק באמצע בין שני השורשים, כי הפרבולה סימטרית סביב הישר x = p.
איפה פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 יח״ל הפונקציה הריבועית נלמדת בקדם-אנליזה בכיתה י׳; ב-3 יח״ל המודל הריבועי נלמד בכיתה י״ב.
מה צריך לדעת לפני שלומדים פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ט׳ בתחום פונקציות: פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים, משוואה ריבועית ונוסחת השורשים, פרבולה: קודקוד וציר סימטריה ומספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה). אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל?
בכיתה י״א ממשיכים באותו תחום אל גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל בכיתה י׳?
בוחרים רמה (1 — x של הקודקוד; 2 — y של הקודקוד, a ≠ 1; 3 — חיתוך עם ציר x מצורת קודקוד), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י׳, מבחן במתמטיקה לכיתה י׳, חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל, שיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל, פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים — כיתה ט׳, גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.