פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים — כיתה ט׳
פונקציות · חטיבת ביניים
💡 מה צריך לדעת
כדי למצוא את נקודת החיתוך של פרבולה עם ציר y מציבים x = 0, ומקבלים את הנקודה (0, c). כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר x מציבים y = 0 ופותרים את המשוואה הריבועית ax² + bx + c = 0 — בפירוק לגורמים או בנוסחת השורשים. לפרבולה יכולות להיות שתי נקודות חיתוך עם ציר x, אחת או אף אחת.
- חיתוך עם ציר y: x = 0 ← הנקודה (0, c).
- חיתוך עם ציר x: y = 0 ← פותרים ax² + bx + c = 0.
- אם הפונקציה נתונה כ-y = a(x − p)(x − q), החיתוכים עם ציר x הם p ו-q.
דוגמה פתורה
מצאו את נקודות החיתוך של y = x² − x − 6 עם ציר x
- x² − x − 6 = 0
- (x − 3)(x + 2) = 0
- x = 3 או x = −2 ← (3, 0), (−2, 0)
✅ תשובה: x = 3, x = −2
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: חיתוך עם ציר y ו-y = x² − k
מהם שיעורי ה-x של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר x? (רשמו את שניהם מופרדים בפסיק)
y = x² − 121
✅ תשובה: 11 , −11
x² − 121 = 0 ← x² = 121 ← x = ±11
- 🟡 רמה 2: y = x² + bx + c
מהם שיעורי ה-x של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר x? (רשמו את שניהם מופרדים בפסיק)
y = x² − 13x + 40
✅ תשובה: 8 , 5
(x − 8)(x − 5) = 0 ← x = 8 או x = 5
- 🔴 רמה 3: מקדם מוביל שונה מ-1
מהם שיעורי ה-x של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר x? (רשמו את שניהם מופרדים בפסיק)
y = −3x² + 3x + 18
✅ תשובה: 3 , −2
מוציאים −3: −3(x² − x − 6) = 0; (x − 3)(x + 2) = 0 ← x = 3 או x = −2
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים הוא נושא 7 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום פונקציות, יחד עם פרבולה: קודקוד וציר סימטריה.
בפריסה הרגילה של תשפ״ז חיתוך עם הצירים נלמד בנובמבר עם הפונקציה הריבועית, וחוזר במרץ בנושא תכונות של פונקציה.
⬅️ לפני כן (כיתה ח׳): שיפוע של ישר · הפונקציה הקווית y = mx + b
➡️ אחר כך (כיתה י׳): חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל · פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל · אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל · שיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהם שיעורי ה-x של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר x? (רשמו את שניהם מופרדים בפסיק)
y = x² − 64
עוד נושאים לכיתה ט׳
פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים הוא נושא 7 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום פונקציות, יחד עם פרבולה: קודקוד וציר סימטריה. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — חיתוך עם ציר y ו-y = x² − k, רמה 2 — y = x² + bx + c, רמה 3 — מקדם מוביל שונה מ-1.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
למה לחיתוך עם ציר y יש תמיד נקודה אחת?
כי לכל x יש ערך y יחיד בפונקציה, ובפרט ל-x = 0. לכן כל פרבולה מהצורה y = ax² + bx + c חותכת את ציר y בדיוק בנקודה (0, c).
מה אומר שלפרבולה אין חיתוך עם ציר x?
שהיא כולה מעל הציר או כולה מתחתיו, ולמשוואה ax² + bx + c = 0 אין פתרון (הדיסקרימיננטה שלילית).
איפה פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
בפריסה הרגילה של תשפ״ז חיתוך עם הצירים נלמד בנובמבר עם הפונקציה הריבועית, וחוזר במרץ בנושא תכונות של פונקציה.
מה צריך לדעת לפני שלומדים פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ח׳ בתחום פונקציות: שיפוע של ישר והפונקציה הקווית y = mx + b. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים?
בכיתה י׳ ממשיכים באותו תחום אל חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל, פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל, אמצע קטע ומרחק בין נקודות — 3–5 יח״ל ושיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים פרבולה: נקודות חיתוך עם הצירים בכיתה ט׳?
בוחרים רמה (1 — חיתוך עם ציר y ו-y = x² − k; 2 — y = x² + bx + c; 3 — מקדם מוביל שונה מ-1), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה ט׳, מבחן במתמטיקה לכיתה ט׳, פרבולה: קודקוד וציר סימטריה, שיפוע של ישר — כיתה ח׳, חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.