מספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה) — כיתה ט׳
אלגברה · חטיבת ביניים
💡 מה צריך לדעת
הביטוי b² − 4ac שמתחת לשורש בנוסחת השורשים נקרא דיסקרימיננטה (ומסומן לפעמים Δ). אם הוא חיובי — למשוואה שני פתרונות שונים. אם הוא אפס — פתרון אחד בלבד. אם הוא שלילי — אין פתרון. כך אפשר לדעת כמה פתרונות יש בלי לפתור את המשוואה עד הסוף.
- Δ = b² − 4ac
- Δ > 0 ← שני פתרונות; Δ = 0 ← פתרון אחד; Δ < 0 ← אין פתרון.
- שימו לב לסימנים: אם c שלילי ו-a חיובי, −4ac חיובי.
דוגמה פתורה
כמה פתרונות יש למשוואה x² − 6x + 9 = 0?
- Δ = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
- Δ = 0 ← פתרון אחד (x = 3)
✅ תשובה: 1
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: משוואות עם a = 1
כמה פתרונות יש למשוואה? (0, 1 או 2)
x² + 12x + 36 = 0
✅ תשובה: 1
Δ = 12² − 4 × 1 × 36 = 144 − 144 = 0 ← אפס: פתרון אחד
- 🟡 רמה 2: מקדמים כלליים
כמה פתרונות יש למשוואה? (0, 1 או 2)
2x² − 5x + 5 = 0
✅ תשובה: 0
Δ = (−5)² − 4 × 2 × 5 = 25 − 40 = −15 ← שלילי: אין פתרון
- 🔴 רמה 3: מציאת פרמטר לפתרון יחיד
לאיזה ערך חיובי של k יש למשוואה פתרון אחד בלבד?
9x² + kx + 4 = 0
✅ תשובה: 12
Δ = k² − 4 × 9 × 4 = 0 ← k² = 144 ← k = 12
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
מספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה) הוא נושא 5 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום אלגברה, יחד עם נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים ומשוואה ריבועית ונוסחת השורשים.
בפריסה הרגילה של תשפ״ז הנושא שייך לפונקציה הריבועית ולמשוואה הריבועית, שנלמדות בנובמבר ובדצמבר.
⬅️ לפני כן (כיתה ח׳): חוק הפילוג ופתיחת סוגריים · משוואות עם סוגריים ושברים · אי־שוויונים ממעלה ראשונה · מערכת משוואות עם שני נעלמים
➡️ אחר כך (כיתה י׳): פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל · משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל · מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל · אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0כמה פתרונות יש למשוואה? (0, 1 או 2)
x² + 6x + 9 = 0
עוד נושאים לכיתה ט׳
מספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה) הוא נושא 5 מתוך 11 במתמטיקה בכיתה ט׳, בתחום אלגברה, יחד עם נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים ומשוואה ריבועית ונוסחת השורשים. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — משוואות עם a = 1, רמה 2 — מקדמים כלליים, רמה 3 — מציאת פרמטר לפתרון יחיד.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
מה הקשר בין הדיסקרימיננטה לגרף הפרבולה?
מספר הפתרונות שווה למספר נקודות החיתוך של הפרבולה y = ax² + bx + c עם ציר x: שתיים, אחת (הקודקוד על הציר) או אף אחת.
אם a ו-c בסימנים שונים, כמה פתרונות יש?
תמיד שניים, כי אז −4ac חיובי ו-b² − 4ac בהכרח חיובי.
איפה מספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה) נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
בפריסה הרגילה של תשפ״ז הנושא שייך לפונקציה הריבועית ולמשוואה הריבועית, שנלמדות בנובמבר ובדצמבר.
מה צריך לדעת לפני שלומדים מספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה)?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ח׳ בתחום אלגברה: חוק הפילוג ופתיחת סוגריים, משוואות עם סוגריים ושברים, אי־שוויונים ממעלה ראשונה ומערכת משוואות עם שני נעלמים. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי מספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה)?
בכיתה י׳ ממשיכים באותו תחום אל פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל, משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל ואי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים מספר הפתרונות של משוואה ריבועית (דיסקרימיננטה) בכיתה ט׳?
בוחרים רמה (1 — משוואות עם a = 1; 2 — מקדמים כלליים; 3 — מציאת פרמטר לפתרון יחיד), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה ט׳, מבחן במתמטיקה לכיתה ט׳, נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים, חוק הפילוג ופתיחת סוגריים — כיתה ח׳, פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.