גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל — כיתה י״א

פונקציות · תיכון

💡 מה צריך לדעת

בתהליך של גדילה או דעיכה הכמות משתנה באחוז קבוע בכל יחידת זמן. הנוסחה היא Mₜ = M₀ · qᵗ, כאשר M₀ היא הכמות ההתחלתית, t מספר יחידות הזמן ו-q מקדם הגדילה: בגדילה של p% מתקיים q = 1 + p/100, ובדעיכה של p% מתקיים q = 1 − p/100. כך מחשבים ריבית דריבית, ירידת ערך של רכב, גידול אוכלוסייה ועוד. אם ידועות הכמויות, מוצאים את q בעזרת שורש מסדר t.

עלייה של 6% → q = 1.06; ירידה של 6% → q = 0.94.
כדי למצוא אחוז: q = (Mₜ/M₀)^(1/t), ואז p = (q − 1) · 100.
כשמחפשים מתי כמות תעבור ערך מסוים, אפשר לנסות ערכי t שלמים או להשתמש בלוגריתם.

דוגמה פתורה

הפקידו 5,000 ₪ בריבית דריבית של 4% לשנה. כמה כסף יהיה כעבור 3 שנים?

q = 1.04
M₃ = 5000 · 1.04³ = 5624.32

✅ תשובה: כ-5,624 ₪

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: גדילה
הפקידו 3000 ₪ בתוכנית חיסכון בריבית דריבית של 7% לשנה. כמה כסף יהיה בחיסכון כעבור 5 שנים? עגלו לשקל שלם.
M₀ = 3000 , q = 1.07 , t = 5
✅ תשובה: 4208 ₪
Mₜ = M₀ · qᵗ = 3000 · 1.07⁵ ≈ 4208.
🟡 רמה 2: דעיכה
ערכה של מכונית יורד ב-11% בכל שנה. היום ערכה 6000 ₪. מה יהיה ערכה כעבור 6 שנים? עגלו לשקל שלם.
M₀ = 6000 , q = 0.89 , t = 6
✅ תשובה: 2982 ₪
Mₜ = M₀ · qᵗ = 6000 · 0.89⁶ ≈ 2982.
🔴 רמה 3: מציאת אחוז או זמן
כמות של חומר במיכל קטנה באחוז קבוע בכל שעה: בהתחלה 2300 יחידות, וכעבור 7 שעות — 1384 יחידות. בכמה אחוזים קטנה הכמות בכל שעה? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.
M₀ = 2300 , t = 7 , Mₜ = 1384
✅ תשובה: 7 %
q⁷ = 1384/2300, ולכן q = (1384/2300)^(1/7) ≈ 0.93. הדעיכה היא כ-7% בשעה.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל הוא נושא 3 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום פונקציות.

ב-3 יח״ל תהליכים מעריכיים של גדילה ודעיכה נלמדים בכיתה י״א; ב-4 וב-5 יח״ל בכיתה י״ב.

⬅️ לפני כן (כיתה י׳): חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל · שיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל · פונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל

➡️ אחר כך (כיתה י״ב): משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל · לוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

הפקידו 1000 ₪ בתוכנית חיסכון בריבית דריבית של 11% לשנה. כמה כסף יהיה בחיסכון כעבור 10 שנים? עגלו לשקל שלם.

M₀ = 1000 , q = 1.11 , t = 10

₪

עוד נושאים לכיתה י״א

סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל משוואת המשיק — 3–5 יח״ל נקודות קיצון — 3–5 יח״ל תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל משוואת המעגל — 4–5 יח״ל משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — 4–5 יח״ל התפלגות נורמלית — 3 יח״ל משוואות טריגונומטריות — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״א · מתמטיקה לכיתה י״א

גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל הוא נושא 3 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום פונקציות. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — גדילה, רמה 2 — דעיכה, רמה 3 — מציאת אחוז או זמן.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין ריבית פשוטה לריבית דריבית?

בריבית פשוטה הריבית מחושבת תמיד על הסכום ההתחלתי; בריבית דריבית — על הסכום שהצטבר, כולל הריבית הקודמת.

האם דעיכה של 10% פעמיים היא דעיכה של 20%?

לא. 0.9 · 0.9 = 0.81, כלומר ירידה כוללת של 19%.

איפה גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-3 יח״ל תהליכים מעריכיים של גדילה ודעיכה נלמדים בכיתה י״א; ב-4 וב-5 יח״ל בכיתה י״ב.

מה צריך לדעת לפני שלומדים גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י׳ בתחום פונקציות: חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל, שיפוע ומשוואת ישר — 3–5 יח״ל ופונקציה ריבועית: קודקוד וחיתוך עם הצירים — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

מה לומדים אחרי גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל?

בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל ולוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.

איך מתרגלים גדילה ודעיכה — 3–5 יח״ל בכיתה י״א?

בוחרים רמה (1 — גדילה; 2 — דעיכה; 3 — מציאת אחוז או זמן), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, חיתוך ישר ופרבולה — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב, ומתמטיקה.