נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל — כיתה י״א
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון
💡 מה צריך לדעת
הנגזרת f′(x) מתארת את קצב השינוי של הפונקציה — את שיפוע המשיק לגרף בכל נקודה. הכלל הבסיסי: הנגזרת של a·xⁿ היא n·a·xⁿ⁻¹, הנגזרת של מספר קבוע היא 0, ונגזרת של סכום היא סכום הנגזרות. הכלל עובד גם לחזקות שליליות ושבורות: (1/x)′ = −1/x², (√x)′ = 1/(2√x). גזירת פולינומים נלמדת בכל הרמות; פונקציות רציונליות ושורשים — ב-4 וב-5 יח״ל.
- מורידים את החזקה כמקדם ומחסרים 1 מהמעריך.
- קבוע שעומד לבד נעלם בגזירה; קבוע שכופל — נשאר.
- a/xⁿ כותבים כ-a·x⁻ⁿ ואז גוזרים: −n·a·x⁻ⁿ⁻¹.
דוגמה פתורה
גזרו: f(x) = 2x³ − 5x² + 7x − 4
- (2x³)′ = 6x²
- (−5x²)′ = −10x
- (7x)′ = 7, (−4)′ = 0
✅ תשובה: f′(x) = 6x² − 10x + 7
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: חזקה ואיבר ליניארי
מהי הנגזרת של הפונקציה?
f(x) = −2x³ + 3x + 7
אפשרויות: f′(x) = −6x² + 3 · f′(x) = −6x² + 10 · f′(x) = −6x³ + 3 · f′(x) = −2x² + 3
✅ תשובה: f′(x) = −6x² + 3
(−2x³)′ = 3 · (−2)x² = −6x², הנגזרת של 3x היא 3, ושל הקבוע — 0. לכן f′(x) = −6x² + 3.
- 🟡 רמה 2: פולינום ממעלה שלישית
מהי הנגזרת של הפונקציה?
f(x) = 5x³ − 5x² + 2x + 6
אפשרויות: f′(x) = 15x² − 10x + 2 · f′(x) = 15x³ − 10x² + 2x · f′(x) = 15x² − 10x + 8 · f′(x) = 5x² − 5x + 2
✅ תשובה: f′(x) = 15x² − 10x + 2
גוזרים כל איבר בנפרד: 5x³ → 15x², −5x² → −10x, 2x → 2, והקבוע נעלם. f′(x) = 15x² − 10x + 2.
- 🔴 רמה 3: x במכנה או שורש
מהי הנגזרת של הפונקציה? (x > 0)
f(x) = 12√x − x² − 8
אפשרויות: f′(x) = 6/√x − 2x · f′(x) = 6√x − 2x · f′(x) = −6/√x − 2x · f′(x) = 12/√x − 2x
✅ תשובה: f′(x) = 6/√x − 2x
(√x)′ = 1/(2√x), ולכן (12√x)′ = 12/(2√x) = 6/√x. f′(x) = 6/√x − 2x.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל הוא נושא 4 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל, נקודות קיצון — 3–5 יח״ל ותחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל.
ב-4 וב-5 יח״ל חשבון דיפרנציאלי של פולינום נלמד כבר בכיתה י׳.
➡️ אחר כך (כיתה י״ב): נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל · נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל · פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל · אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהי הנגזרת של הפונקציה?
f(x) = −3x⁴ − 7x − 9
עוד נושאים לכיתה י״א
נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל הוא נושא 4 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל, נקודות קיצון — 3–5 יח״ל ותחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — חזקה ואיבר ליניארי, רמה 2 — פולינום ממעלה שלישית, רמה 3 — x במכנה או שורש.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
מה המשמעות של הנגזרת?
הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק לגרף באותה נקודה, כלומר קצב השינוי הרגעי של הפונקציה.
איך גוזרים √x?
כותבים √x = x^(1/2) וגוזרים: ½x^(−½) = 1/(2√x).
איפה נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 וב-5 יח״ל חשבון דיפרנציאלי של פולינום נלמד כבר בכיתה י׳.
מה לומדים אחרי נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל?
בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל, נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל ואינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל בכיתה י״א?
בוחרים רמה (1 — חזקה ואיבר ליניארי; 2 — פולינום ממעלה שלישית; 3 — x במכנה או שורש), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל, נקודות קיצון — 3–5 יח״ל, נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב, ומתמטיקה.