פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון
💡 מה צריך לדעת
פונקציה קדומה של f היא פונקציה F שהנגזרת שלה היא f, כלומר F′(x) = f(x). לכל פונקציה יש אינסוף פונקציות קדומות שנבדלות בקבוע, ולכן כותבים + C. הכלל הבסיסי הוא "הפוך מגזירה": מעלים את המעריך ב-1 ומחלקים במעריך החדש — ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (עבור n ≠ −1). כשנתונה נקודה שהפונקציה הקדומה עוברת בה, מציבים אותה ומוצאים את C.
- בדיקה מהירה: גזרו את התשובה — צריך לקבל את הפונקציה המקורית.
- 1/x² = x⁻², ולכן הפונקציה הקדומה היא −x⁻¹ = −1/x.
- אל תשכחו את + C, אלא אם נתונה נקודה שקובעת אותו.
דוגמה פתורה
מצאו פונקציה קדומה ל-f(x) = 6x² − 4x + 1 העוברת בנקודה (1, 5)
- F(x) = 2x³ − 2x² + x + C
- F(1) = 2 − 2 + 1 + C = 5 ⇐ C = 4
✅ תשובה: F(x) = 2x³ − 2x² + x + 4
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: פולינום
איזו מהפונקציות היא פונקציה קדומה של f? (C קבוע)
f(x) = 16x³ + 4x + 1
אפשרויות: F(x) = 4x⁴ + 2x² + x + C · F(x) = 48x² + 4 + C · F(x) = 16x⁴ + 4x² + x + C · F(x) = (16/3)x⁴ + 4x² + x + C
✅ תשובה: F(x) = 4x⁴ + 2x² + x + C
מעלים כל מעריך ב-1 ומחלקים במעריך החדש: F(x) = 4x⁴ + 2x² + x + C. בדיקה: גוזרים ומקבלים את f.
- 🟡 רמה 2: פונקציה קדומה דרך נקודה
מהי הפונקציה הקדומה של f שגרפה עובר בנקודה (−2, −35)?
f(x) = 9x² − 6x
אפשרויות: F(x) = 3x³ − 3x² − 1 · F(x) = 3x³ − 3x² + 1 · F(x) = 3x³ − 3x² − 71 · F(x) = 3x³ − 3x² − 35
✅ תשובה: F(x) = 3x³ − 3x² + 1
F(x) = 3x³ − 3x² + C. מציבים: F(−2) = −36 + C = −35, ולכן C = 1.
- 🔴 רמה 3: a/x² ופולינום
איזו מהפונקציות היא פונקציה קדומה של f? (x ≠ 0, C קבוע)
f(x) = 5/x² + 3x² + 2x
אפשרויות: F(x) = −5/x + x³ + x² + C · F(x) = 5/x + x³ + x² + C · F(x) = −10/x³ + x³ + x² + C · F(x) = −5/(3x³) + x³ + x² + C
✅ תשובה: F(x) = −5/x + x³ + x² + C
5/x² = 5x⁻², והפונקציה הקדומה שלו: 5x⁻¹/(−1) = −5/x. F(x) = −5/x + x³ + x² + C.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל הוא נושא 1 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל ונגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל.
ב-4 וב-5 יח״ל החשבון האינטגרלי מתחיל כבר בכיתה י״א.
⬅️ לפני כן (כיתה י״א): נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל · ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל · משוואת המשיק — 3–5 יח״ל · נקודות קיצון — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0איזו מהפונקציות היא פונקציה קדומה של f? (C קבוע)
f(x) = −12x² − 6x − 4
עוד נושאים לכיתה י״ב
פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל הוא נושא 1 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל ונגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — פולינום, רמה 2 — פונקציה קדומה דרך נקודה, רמה 3 — a/x² ופולינום.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
למה מוסיפים C?
כי הנגזרת של קבוע היא 0. לכן גם F(x) + 5 וגם F(x) − 3 הן פונקציות קדומות של אותה f.
מה הפונקציה הקדומה של 1/x?
ln|x| + C — זה המקרה היחיד שבו כלל החזקה לא עובד (n = −1). נלמד ב-5 יח״ל.
איפה פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 וב-5 יח״ל החשבון האינטגרלי מתחיל כבר בכיתה י״א.
מה צריך לדעת לפני שלומדים פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י״א בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ונקודות קיצון — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
איך מתרגלים פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל בכיתה י״ב?
בוחרים רמה (1 — פולינום; 2 — פונקציה קדומה דרך נקודה; 3 — a/x² ופולינום), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.