נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון
💡 מה צריך לדעת
שתי נגזרות בסיסיות: (eˣ)′ = eˣ ו-(ln x)′ = 1/x. לפי כלל השרשרת: (e^g(x))′ = g′(x)·e^g(x), ו-(ln g(x))′ = g′(x)/g(x). למכפלה משתמשים בכלל (uv)′ = u′v + uv′, ולמנה בכלל (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². הנושא נלמד ב-4 וב-5 יח״ל, והוא הבסיס לחקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.
- (e^(kx))′ = k·e^(kx) — המעריך לא משתנה, רק מוסיפים מקדם.
- (ln(ax + b))′ = a/(ax + b).
- במכפלה x·eˣ: הנגזרת היא eˣ + x·eˣ = (x + 1)eˣ.
דוגמה פתורה
גזרו: f(x) = x²·eˣ
- u = x², v = eˣ
- f′ = 2x·eˣ + x²·eˣ
✅ תשובה: f′(x) = (x² + 2x)eˣ
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: eˣ ו-ln x
מהי הנגזרת של הפונקציה? (x > 0)
f(x) = −6ln x + 5x²
אפשרויות: f′(x) = −6/x + 10x · f′(x) = −6x + 10x · f′(x) = −6/x² + 10x · f′(x) = −6ln x + 10x
✅ תשובה: f′(x) = −6/x + 10x
(ln x)′ = 1/x, ולכן f′(x) = −6/x + 10x.
- 🟡 רמה 2: כלל השרשרת
מהי הנגזרת של הפונקציה? (x > 0)
f(x) = ln(5x + 4)
אפשרויות: f′(x) = 5ln(5x + 4) · f′(x) = 1/(5x + 4) · f′(x) = 5/(5x + 4) · f′(x) = 5/x
✅ תשובה: f′(x) = 5/(5x + 4)
לפי כלל השרשרת: (ln g)′ = g′/g, ו-g′ = 5. לכן f′(x) = 5/(5x + 4).
- 🔴 רמה 3: מכפלה ומנה
מהי הנגזרת של הפונקציה?
f(x) = xe²ˣ
אפשרויות: f′(x) = 2e²ˣ · f′(x) = (2x − 1)e²ˣ · f′(x) = e²ˣ · f′(x) = (2x + 1)e²ˣ
✅ תשובה: f′(x) = (2x + 1)e²ˣ
לפי כלל המכפלה: 1 · e²ˣ + x · 2e²ˣ = (2x + 1)e²ˣ.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל הוא נושא 7 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל ונפח גוף סיבוב — 5 יח״ל.
ב-4 וב-5 יח״ל החשבון הדיפרנציאלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות נלמד בכיתה י״ב.
⬅️ לפני כן (כיתה י״א): נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל · ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל · משוואת המשיק — 3–5 יח״ל · נקודות קיצון — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהי הנגזרת של הפונקציה?
f(x) = −4eˣ + 3x³
עוד נושאים לכיתה י״ב
נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל הוא נושא 7 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל ונפח גוף סיבוב — 5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — eˣ ו-ln x, רמה 2 — כלל השרשרת, רמה 3 — מכפלה ומנה.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
למה הנגזרת של eˣ היא eˣ?
זו התכונה המיוחדת של המספר e: שיפוע הגרף בכל נקודה שווה לגובה הגרף באותה נקודה.
מה הנגזרת של ln(5x)?
5/(5x) = 1/x. זה הגיוני, כי ln(5x) = ln 5 + ln x, ו-ln 5 קבוע.
איפה נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 וב-5 יח״ל החשבון הדיפרנציאלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות נלמד בכיתה י״ב.
מה צריך לדעת לפני שלומדים נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י״א בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ונקודות קיצון — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
איך מתרגלים נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל בכיתה י״ב?
בוחרים רמה (1 — eˣ ו-ln x; 2 — כלל השרשרת; 3 — מכפלה ומנה), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.