חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון
💡 מה צריך לדעת
כדי לחשב שטח כלוא בין גרף לציר ה-x מוצאים את נקודות החיתוך עם הציר — הן גבולות האינטגרל — ומחשבים את האינטגרל. אם הגרף מתחת לציר, האינטגרל שלילי, והשטח הוא ערכו המוחלט. שטח בין שני גרפים: ∫(f − g)dx, כאשר f הוא הגרף העליון בקטע, והגבולות הם נקודות החיתוך בין הגרפים. הנושא נלמד ב-4 וב-5 יח״ל.
- תמיד מתחילים בסקיצה — היא מראה מי הגרף העליון.
- שטח הוא תמיד חיובי.
- בשטח בין גרפים: "עליון פחות תחתון", ואז אינטגרל בין נקודות החיתוך.
דוגמה פתורה
מצאו את השטח הכלוא בין y = −x² + 4x לציר ה-x
- נקודות חיתוך: x = 0 ו-x = 4
- ∫₀⁴ (−x² + 4x) dx = [−x³/3 + 2x²]₀⁴ = −64/3 + 32
✅ תשובה: 32/3
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: פרבולה וציר x
מהו השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-x? כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
y = −x² + 2x
✅ תשובה: 4/3 יח״ר
נקודות החיתוך עם ציר ה-x: x = 0 ו-x = 2. הגרף מעל הציר בקטע: |∫₀² y dx| = 4/3.
- 🟡 רמה 2: מקדם מוביל כלשהו
מהו השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-x? כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
y = −3x² − 6x
✅ תשובה: 4 יח״ר
נקודות החיתוך עם ציר ה-x: x = −2 ו-x = 0. הגרף מעל הציר בקטע: |∫₋₂⁰ y dx| = 4.
- 🔴 רמה 3: פרבולה וישר
מהו השטח הכלוא בין הפרבולה לבין הישר? כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
y = 2x² − 6x + 4 , y = 2x − 2
✅ תשובה: 8/3 יח״ר
נקודות החיתוך: x = 1 ו-x = 3. הישר הוא הגרף העליון בקטע. השטח = ∫₁³ |2x² − 8x + 6| dx = 8/3.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל הוא נושא 3 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל ונגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל.
ב-4 וב-5 יח״ל חישובי שטחים באינטגרל מתחילים בכיתה י״א.
⬅️ לפני כן (כיתה י״א): נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל · ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל · משוואת המשיק — 3–5 יח״ל · נקודות קיצון — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהו השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-x? כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.
y = −x² − 6x − 8
עוד נושאים לכיתה י״ב
חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל הוא נושא 3 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל ונגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — פרבולה וציר x, רמה 2 — מקדם מוביל כלשהו, רמה 3 — פרבולה וישר.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
מה עושים אם הגרף חוצה את הציר בתוך הקטע?
מחלקים את הקטע בנקודת החיתוך ומחשבים כל חלק בנפרד, ואז מחברים את הערכים המוחלטים.
איך יודעים מי הגרף העליון?
מציבים נקודה כלשהי בין נקודות החיתוך בשתי הפונקציות — הגדולה מביניהן היא העליונה.
איפה חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 וב-5 יח״ל חישובי שטחים באינטגרל מתחילים בכיתה י״א.
מה צריך לדעת לפני שלומדים חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י״א בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ונקודות קיצון — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
איך מתרגלים חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל בכיתה י״ב?
בוחרים רמה (1 — פרבולה וציר x; 2 — מקדם מוביל כלשהו; 3 — פרבולה וישר), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.