נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל — כיתה י״ב

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון

💡 מה צריך לדעת

כשמסובבים סביב ציר ה-x את השטח שבין גרף הפונקציה לציר, בקטע a ≤ x ≤ b, מתקבל גוף סיבוב. נפחו מחושב בנוסחה V = π∫ₐᵇ (f(x))² dx: כל "פרוסה" היא עיגול שרדיוסו f(x). למשל, סיבוב הישר y = rx/h בקטע 0 ≤ x ≤ h נותן חרוט שנפחו πr²h/3. הנושא נלמד ב-5 יח״ל.

מעלים את הפונקציה בריבוע לפני האינטגרציה — לא אחרי.
(√x)² = x, ולכן אינטגרל של שורש בריבוע הוא פשוט.
השאירו את π בחוץ ורק בסוף כפלו בו.

דוגמה פתורה

חשבו את נפח הגוף שנוצר מסיבוב y = 2x, 0 ≤ x ≤ 3, סביב ציר x

V = π∫₀³ 4x² dx
= π[4x³/3]₀³ = π · 36

✅ תשובה: 36π

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: ישר דרך הראשית (חרוט)
מהו נפח הגוף שנוצר מסיבוב השטח שבין הגרף לציר ה-x סביב ציר ה-x בקטע הנתון? הקלידו את המקדם של π (מספר שלם או שבר מצומצם).
y = −3x , 0 ≤ x ≤ 6
✅ תשובה: 648 π
V = π∫₀⁶ 9x² dx = π · 9x³/3 |₀⁶ = 648π.
🟡 רמה 2: שורש
מהו נפח הגוף שנוצר מסיבוב השטח שבין הגרף לציר ה-x סביב ציר ה-x בקטע הנתון? הקלידו את המקדם של π (מספר שלם או שבר מצומצם).
y = √(3x) , 0 ≤ x ≤ 1
✅ תשובה: 3/2 π
y² = 3x. V = π∫ 3x dx = π · 3x²/2 |₀¹ = (3/2)π.
🔴 רמה 3: פרבולה וישר כללי
מהו נפח הגוף שנוצר מסיבוב השטח שבין הגרף לציר ה-x סביב ציר ה-x בקטע הנתון? הקלידו את המקדם של π (מספר שלם או שבר מצומצם).
y = −x + 3 , 2 ≤ x ≤ 4
✅ תשובה: 2/3 π
y² = x² − 6x + 9. V = π[(1/3)x³ − 3x² + 9x]₂⁴ = (2/3)π.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

נפח גוף סיבוב ב-5 יח״ל נמצא ברשימת הנושאים שלא יילמדו בתשפ״ז.

⬅️ לפני כן (כיתה י״א): נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל · ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל · משוואת המשיק — 3–5 יח״ל · נקודות קיצון — 3–5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

מהו נפח הגוף שנוצר מסיבוב השטח שבין הגרף לציר ה-x סביב ציר ה-x בקטע הנתון? הקלידו את המקדם של π (מספר שלם או שבר מצומצם).

y = 3x , 0 ≤ x ≤ 3

עוד נושאים לכיתה י״ב

פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל לוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל וקטורים במרחב — 5 יח״ל מספרים מרוכבים — 5 יח״ל אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב · מתמטיקה לכיתה י״ב

נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל הוא נושא 4 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל ונגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — ישר דרך הראשית (חרוט), רמה 2 — שורש, רמה 3 — פרבולה וישר כללי.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

למה מעלים בריבוע?

כל חתך של הגוף הוא עיגול ברדיוס f(x), ושטחו π(f(x))². הנפח הוא "סכום" שטחי החתכים — אינטגרל.

איך מקלידים תשובה עם π?

כאן מקלידים רק את המקדם של π. למשל עבור 36π מקלידים 36, ועבור 8π/3 מקלידים 8/3.

איפה נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

נפח גוף סיבוב ב-5 יח״ל נמצא ברשימת הנושאים שלא יילמדו בתשפ״ז.

מה צריך לדעת לפני שלומדים נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י״א בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ונקודות קיצון — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

איך מתרגלים נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל בכיתה י״ב?

בוחרים רמה (1 — ישר דרך הראשית (חרוט); 2 — שורש; 3 — פרבולה וישר כללי), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.