וקטורים במרחב — 5 יח״ל — כיתה י״ב

וקטורים · תיכון

💡 מה צריך לדעת

וקטור במרחב נכתב בשיעורים u = (u₁, u₂, u₃). מחברים וקטורים וכופלים אותם בסקלר רכיב אחר רכיב. המכפלה הסקלרית היא u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃, והיא שווה גם ל-|u|·|v|·cos θ, כאשר θ היא הזווית בין הווקטורים. מכאן: וקטורים (שונים מאפס) ניצבים זה לזה בדיוק כשהמכפלה הסקלרית שלהם היא 0. אורך וקטור: |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²). הנושא נלמד ב-5 יח״ל.

כפל בסקלר: כל רכיב מוכפל — 3·(1, −2, 4) = (3, −6, 12).
ניצבות ⇔ מכפלה סקלרית 0.
cos θ = u·v / (|u|·|v|) — אם יוצא שלילי, הזווית קהה.

דוגמה פתורה

u = (1, 2, 2), v = (2, −1, 2). מצאו את הזווית בין הווקטורים.

u·v = 2 − 2 + 4 = 4
|u| = 3, |v| = 3
cos θ = 4/9 ⇐ θ ≈ 63.6°

✅ תשובה: ≈ 63.6°

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: צירוף ליניארי
מהו הווקטור 4u − 3v?
u = (4, 3, 2) , v = (−5, 6, −1)
אפשרויות: (1, 30, 5) · (31, −6, 11) · (19, −15, 5) · (21, 6, 9)
✅ תשובה: (31, −6, 11)
מחשבים רכיב אחר רכיב: (16, 12, 8) − (−15, 18, −3) = (31, −6, 11).
🟡 רמה 2: מכפלה סקלרית וניצבות
מהי המכפלה הסקלרית u·v?
u = (−5, 2, 6) , v = (−6, 5, 4)
✅ תשובה: 64
u·v = (−5)·(−6) + 2·5 + 6·4 = 64.
🔴 רמה 3: זווית בין וקטורים
מהי הזווית בין הווקטורים u ו-v (במעלות)? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.
u = (−2, 2, 1) , v = (−1, 5, 0)
✅ תשובה: 38.3 °
u·v = 12, |u| = √9, |v| = √26. cos θ = u·v / (|u||v|) ≈ 0.7845, ולכן θ ≈ 38.3°.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

וקטורים במרחב — 5 יח״ל הוא נושא 10 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום וקטורים.

ב-5 יח״ל וקטורים במרחב (ישר ומישור, מרחקים וזוויות) נלמדים בכיתה י״ב; ב-4 יח״ל לומדים בכיתה י״ב וקטורים גאומטריים ואלגבריים ומכפלה סקלרית.

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

מהו הווקטור 2u + v?

u = (1, 5, −4) , v = (−5, −1, −6)

עוד נושאים לכיתה י״ב

פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל לוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל מספרים מרוכבים — 5 יח״ל אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב · מתמטיקה לכיתה י״ב

וקטורים במרחב — 5 יח״ל הוא נושא 10 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום וקטורים. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — צירוף ליניארי, רמה 2 — מכפלה סקלרית וניצבות, רמה 3 — זווית בין וקטורים.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין מכפלה סקלרית למכפלה וקטורית?

מכפלה סקלרית נותנת מספר; מכפלה וקטורית (לא בתוכנית הבגרות) נותנת וקטור.

מתי שני וקטורים מקבילים?

כשאחד הוא כפולה של השני בסקלר: v = t·u.

איפה וקטורים במרחב — 5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

איך מתרגלים וקטורים במרחב — 5 יח״ל בכיתה י״ב?

בוחרים רמה (1 — צירוף ליניארי; 2 — מכפלה סקלרית וניצבות; 3 — זווית בין וקטורים), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, ומתמטיקה.