אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל — כיתה י״ב

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

1. 🟢 רמה 1: חישוב סכום עבור n נתון

   נתונה הטענה שלהלן. מהו ערך הסכום באגף שמאל עבור n = 5? כתבו מספר שלם או שבר מצומצם.

   1/(1·2) + 1/(2·3) + … + 1/(n(n + 1)) = n/(n + 1)

   ✅ תשובה: 5/6

   מציבים n = 5 בנוסחה (או מחברים את 5 האיברים): 5/6.

2. 🟡 רמה 2: זיהוי הנוסחה הסגורה

   איזה ביטוי שווה לסכום לכל n טבעי (ואפשר להוכיח זאת באינדוקציה)?

   1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = ?

   אפשרויות: 2ⁿ − 1 · 2n − 1 · n² · 2ⁿ⁻¹

   ✅ תשובה: 2ⁿ − 1

   בדיקה: עבור n = 1 ו-n = 2 הנוסחה 2ⁿ − 1 נותנת 1 ו-3, כמו הסכום. את הנכונות לכל n מוכיחים באינדוקציה.

3. 🔴 רמה 3: האיבר שמוסיפים בשלב המעבר

   בשלב המעבר של ההוכחה באינדוקציה מוסיפים לסכום של n האיברים הראשונים את האיבר ה-(n + 1). מהו האיבר הזה?

   1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

   אפשרויות: 2n + 1 · 2n · 2n + 3 · 2n − 1

   ✅ תשובה: 2n + 1

   מציבים n + 1 במקום n באיבר הכללי: 2n + 1.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל הוא נושא 12 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום סדרות.

ב-5 יח״ל אינדוקציה נלמדת בכיתה י״א; חלק מהנושא ברשימת הנושאים שלא יילמדו בתשפ״ז.

⬅️ לפני כן (כיתה י״א): סדרה חשבונית — 3–5 יח״ל · סדרה הנדסית — 4–5 יח״ל