מספרים מרוכבים — 5 יח״ל — כיתה י״ב

אלגברה · תיכון

💡 מה צריך לדעת

מספר מרוכב נכתב בצורה z = a + bi, כאשר i² = −1. מחברים ומחסרים חלק ממשי עם ממשי וחלק מדומה עם מדומה, וכופלים כמו בפתיחת סוגריים — וזוכרים ש-i² = −1. כדי לחלק, כופלים מונה ומכנה בצמוד של המכנה (c − di). בצורה הקוטבית z = r·cis θ, ולפי משפט דה־מואבר zⁿ = rⁿ·cis(nθ). הנושא נלמד ב-5 יח״ל.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
z · z̄ = a² + b² — תמיד מספר ממשי.
1 + i = √2·cis 45°, ולכן (1 + i)⁴ = 4·cis 180° = −4.

דוגמה פתורה

חשבו: (2 + 3i)(1 − i)

2 − 2i + 3i − 3i²
= 2 + i + 3

✅ תשובה: 5 + i

🧩 תרגיל פתור מכל רמה

כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.

🟢 רמה 1: חיבור, חיסור וכפל
חשבו. איזו תשובה נכונה?
(−3 − i) + (5 − 6i)
אפשרויות: −8 − 7i · 2 − 7i · 2 + 5i · −9 + 4i
✅ תשובה: 2 − 7i
מחשבים בנפרד את החלק הממשי ואת החלק המדומה: 2 − 7i.
🟡 רמה 2: חילוק
חשבו את המנה. איזו תשובה נכונה?
(−21 + 22i) / (4 − 3i)
אפשרויות: −6 − i · −6 + i · 1 − 6i · 6 + i
✅ תשובה: −6 + i
כופלים מונה ומכנה בצמוד 4 + 3i: המכנה הופך ל-25, ומקבלים −6 + i.
🔴 רמה 3: משפט דה־מואבר
חשבו בעזרת משפט דה־מואבר. איזו תשובה נכונה?
(1 − i)⁶
אפשרויות: 8i · −8 · 8 · −8i
✅ תשובה: 8i
1 − i = √2·cis -45°. לפי דה־מואבר: (√2)⁶·cis -270° = 8·cis -270° = 8i.

📚 איפה הנושא ברצף הלימודים

מספרים מרוכבים — 5 יח״ל הוא נושא 11 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום אלגברה.

ב-5 יח״ל מספרים מרוכבים, כולל משפט דה-מואבר, נלמדים בכיתה י״ב.

⬅️ לפני כן (כיתה י׳): משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל · מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל · אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל · חוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל

✏️ תרגול

✅ 0/0🔥 רצף 0

חשבו. איזו תשובה נכונה?

(−6 + 6i) · (−2 − i)

עוד נושאים לכיתה י״ב

פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל משוואות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל לוגריתמים וחוקי לוגריתמים — 4–5 יח״ל נגזרות של eˣ ו-ln x — 4–5 יח״ל חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות — 4–5 יח״ל נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל וקטורים במרחב — 5 יח״ל אינדוקציה מתמטית — 5 יח״ל

📝 מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב · מתמטיקה לכיתה י״ב

מספרים מרוכבים — 5 יח״ל הוא נושא 11 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום אלגברה. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — חיבור, חיסור וכפל, רמה 2 — חילוק, רמה 3 — משפט דה־מואבר.

כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.

שאלות נפוצות

מה זה הצמוד?

הצמוד של a + bi הוא a − bi. מכפלת מספר בצמוד שלו נותנת את ריבוע הערך המוחלט שלו: a² + b².

למה משתמשים בצורה הקוטבית?

כי בה כפל והעלאה בחזקה פשוטים מאוד: כופלים ערכים מוחלטים ומחברים זוויות.

איפה מספרים מרוכבים — 5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?

ב-5 יח״ל מספרים מרוכבים, כולל משפט דה-מואבר, נלמדים בכיתה י״ב.

מה צריך לדעת לפני שלומדים מספרים מרוכבים — 5 יח״ל?

כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י׳ בתחום אלגברה: משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל, מערכת משוואות בשני נעלמים — 3–5 יח״ל, אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים — 3–5 יח״ל וחוקי חזקות ושורשים — 4–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.

איך מתרגלים מספרים מרוכבים — 5 יח״ל בכיתה י״ב?

בוחרים רמה (1 — חיבור, חיסור וכפל; 2 — חילוק; 3 — משפט דה־מואבר), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.

שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, משוואות ריבועיות — 3–5 יח״ל — כיתה י׳, ומתמטיקה.