נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון
💡 מה צריך לדעת
כלל השרשרת: הנגזרת של פונקציה מורכבת f(g(x)) היא f′(g(x))·g′(x) — גוזרים את "החיצונית" וכופלים בנגזרת "הפנימית". לכן (√g)′ = g′/(2√g) ו-(gⁿ)′ = n·gⁿ⁻¹·g′. כלל המנה: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². טעויות נפוצות הן שכחת הנגזרת הפנימית והחלפת הסדר במונה של כלל המנה. הנושא נלמד ב-4 וב-5 יח״ל.
- אל תשכחו לכפול בנגזרת הפנימית.
- במונה של כלל המנה: "נגזרת המונה כפול המכנה" קודם.
- המכנה בכלל המנה מופיע בריבוע.
דוגמה פתורה
גזרו: f(x) = (2x + 1)/(x − 3)
- u = 2x + 1, v = x − 3
- f′ = (2(x − 3) − (2x + 1) · 1)/(x − 3)²
- = −7/(x − 3)²
✅ תשובה: f′(x) = −7/(x − 3)²
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: שורש של ביטוי ליניארי
מהי הנגזרת של הפונקציה? (בתחום ההגדרה)
f(x) = √(4x + 4)
אפשרויות: f′(x) = 1/(2√(4x + 4)) · f′(x) = 4/√(4x + 4) · f′(x) = 4√(4x + 4) · f′(x) = 2/√(4x + 4)
✅ תשובה: f′(x) = 2/√(4x + 4)
(√g)′ = g′/(2√g), ו-g′ = 4. לכן f′(x) = 2/√(4x + 4).
- 🟡 רמה 2: כלל המנה
מהי הנגזרת של הפונקציה? (בתחום ההגדרה)
f(x) = (x − 8)/(x − 6)
אפשרויות: f′(x) = −2/(x − 6)² · f′(x) = 2/(x − 6)² · f′(x) = −14/(x − 6)² · f′(x) = 2/(x − 6)
✅ תשובה: f′(x) = 2/(x − 6)²
לפי כלל המנה: (1·(x − 6) − (x − 8)·1) / (x − 6)² = 2/(x − 6)².
- 🔴 רמה 3: חזקה של ביטוי / שורש של ריבועי
מהי הנגזרת של הפונקציה?
f(x) = (4x − 2)⁶
אפשרויות: f′(x) = 6(4x − 2)⁵ · f′(x) = 24(4x − 2)⁵ · f′(x) = 4(4x − 2)⁵ · f′(x) = 24(4x − 2)⁶
✅ תשובה: f′(x) = 24(4x − 2)⁵
לפי כלל השרשרת: 6(4x − 2)⁵ · 4 = 24(4x − 2)⁵.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל הוא נושא 9 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל ונפח גוף סיבוב — 5 יח״ל.
ב-5 יח״ל חדו״א של שורש נלמד בכיתה י׳ ומעמיקים בו בכיתה י״א; ב-4 יח״ל פונקציית שורש וחקירתה נלמדות בכיתה י׳.
⬅️ לפני כן (כיתה י״א): נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל · ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל · משוואת המשיק — 3–5 יח״ל · נקודות קיצון — 3–5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהי הנגזרת של הפונקציה? (בתחום ההגדרה)
f(x) = √(6x + 7)
עוד נושאים לכיתה י״ב
נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל הוא נושא 9 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״ב, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל ונפח גוף סיבוב — 5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — שורש של ביטוי ליניארי, רמה 2 — כלל המנה, רמה 3 — חזקה של ביטוי / שורש של ריבועי.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
איך זוכרים את כלל המנה?
משפט עזר: "נגזרת עליון כפול תחתון, פחות עליון כפול נגזרת תחתון, חלקי תחתון בריבוע".
מה תחום ההגדרה של הנגזרת של √(ax + b)?
ax + b > 0 — כי בנקודה שבה הביטוי מתאפס המכנה של הנגזרת הוא אפס.
איפה נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-5 יח״ל חדו״א של שורש נלמד בכיתה י׳ ומעמיקים בו בכיתה י״א; ב-4 יח״ל פונקציית שורש וחקירתה נלמדות בכיתה י׳.
מה צריך לדעת לפני שלומדים נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה י״א בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ונקודות קיצון — 3–5 יח״ל. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
איך מתרגלים נגזרת של שורש, מנה והרכבה — 4–5 יח״ל בכיתה י״ב?
בוחרים רמה (1 — שורש של ביטוי ליניארי; 2 — כלל המנה; 3 — חזקה של ביטוי / שורש של ריבועי), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״ב, מבחן במתמטיקה לכיתה י״ב, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל — כיתה י״א, ומתמטיקה.