תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל — כיתה י״א
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · תיכון
💡 מה צריך לדעת
פונקציה עולה בתחום שבו הנגזרת שלה חיובית, ויורדת בתחום שבו הנגזרת שלילית. כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה פותרים f′(x) = 0, מסמנים את הפתרונות (ואת הנקודות שבהן הפונקציה לא מוגדרת) על ציר המספרים, ובודקים את סימן הנגזרת בכל תחום. בפונקציה רציונלית חשוב לזכור שנקודה שאינה בתחום ההגדרה מפרידה בין תחומים.
- בונים טבלה: שורה לתחומים, שורה לסימן f′ ושורה לחץ עולה/יורד.
- נקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת — לא נכללת באף תחום.
- הקצוות של התחומים הם נקודות הקיצון.
דוגמה פתורה
f(x) = x³ − 3x² . מצאו תחומי עלייה וירידה.
- f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
- f′ > 0 כאשר x < 0 או x > 2
- f′ < 0 כאשר 0 < x < 2
✅ תשובה: עולה: x < 0 או x > 2 ; יורדת: 0 < x < 2
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: פרבולה
מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?
f(x) = −2x² − 4x − 3
אפשרויות: עולה: x > −1 ; יורדת: x < −1 · עולה: x < 1 ; יורדת: x > 1 · עולה: x > 0 ; יורדת: x < 0 · עולה: x < −1 ; יורדת: x > −1
✅ תשובה: עולה: x < −1 ; יורדת: x > −1
f′(x) = −4x − 4, מתאפסת ב-x = −1. משמאל לנקודה הנגזרת חיובית ומימין שלילית.
- 🟡 רמה 2: פולינום ממעלה שלישית
מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?
f(x) = −2x³ + 12x² + 30x − 8
אפשרויות: עולה: −1 < x < 5 ; יורדת: x < −1 או x > 5 · עולה: −5 < x < 1 ; יורדת: x < −5 או x > 1 · עולה: x < −1 או x > 5 ; יורדת: −1 < x < 5 · עולה: x < −1 ; יורדת: x > −1
✅ תשובה: עולה: −1 < x < 5 ; יורדת: x < −1 או x > 5
f′(x) = −6(x + 1)(x − 5). הנגזרת שלילית מחוץ לשורשים וחיובית ביניהם.
- 🔴 רמה 3: פונקציה עם x במכנה
מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? (x ≠ 0)
f(x) = −x − 36/x
אפשרויות: עולה: x < −6 או x > 6 ; יורדת: −6 < x < 0 או 0 < x < 6 · עולה: x > 6 ; יורדת: x < 6 · עולה: −6 < x < 0 או 0 < x < 6 ; יורדת: x < −6 או x > 6 · עולה: x < −36 או x > 36 ; יורדת: −36 < x < 0 או 0 < x < 36
✅ תשובה: עולה: −6 < x < 0 או 0 < x < 6 ; יורדת: x < −6 או x > 6
f′(x) = −1 + 36/x² = −(x² − 36)/x². הנגזרת מתאפסת ב-x = ±6 ואינה מוגדרת ב-0. היא שלילית כאשר |x| > 6 וחיובית כאשר 0 < |x| < 6.
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל הוא נושא 8 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ונקודות קיצון — 3–5 יח״ל.
ב-4 וב-5 יח״ל חקירת פולינום, כולל תחומי עלייה וירידה, נלמדת בכיתה י׳.
➡️ אחר כך (כיתה י״ב): פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל · אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל · חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל · נפח גוף סיבוב — 5 יח״ל
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?
f(x) = x² − 8x + 6
עוד נושאים לכיתה י״א
תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל הוא נושא 8 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה י״א, בתחום חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, יחד עם נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל ונקודות קיצון — 3–5 יח״ל. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — פרבולה, רמה 2 — פולינום ממעלה שלישית, רמה 3 — פונקציה עם x במכנה.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
האם כוללים את נקודות הקיצון בתחומים?
בבגרות מקובל לכתוב תחומים פתוחים (עם < ו->) — שתי הדרכים מתקבלות בדרך כלל, אבל כדאי לשמור על עקביות.
למה x = 0 מפריד בין תחומים ב-f(x) = x + 4/x?
כי הפונקציה לא מוגדרת ב-0, ולכן הגרף "נקטע" שם והתחומים נבדקים בנפרד משני הצדדים.
איפה תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
ב-4 וב-5 יח״ל חקירת פולינום, כולל תחומי עלייה וירידה, נלמדת בכיתה י׳.
מה לומדים אחרי תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל?
בכיתה י״ב ממשיכים באותו תחום אל פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל, אינטגרל מסוים — 4–5 יח״ל, חישוב שטחים בעזרת אינטגרל — 4–5 יח״ל ונפח גוף סיבוב — 5 יח״ל. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים תחומי עלייה וירידה — 3–5 יח״ל בכיתה י״א?
בוחרים רמה (1 — פרבולה; 2 — פולינום ממעלה שלישית; 3 — פונקציה עם x במכנה), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה י״א, מבחן במתמטיקה לכיתה י״א, נגזרות של פולינומים — 3–5 יח״ל, ערך הנגזרת ושיפוע המשיק בנקודה — 3–5 יח״ל, משוואת המשיק — 3–5 יח״ל, פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים — 4–5 יח״ל — כיתה י״ב, ומתמטיקה.