משפטי חפיפת משולשים — כיתה ח׳
גאומטריה · חטיבת ביניים
💡 מה צריך לדעת
שני משולשים חופפים אם אפשר להניח אחד על השני כך שיתלכדו: כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות. כדי להוכיח חפיפה מספיק להראות שלושה נתונים מתאימים לפי אחד ממשפטי החפיפה: צ.ז.צ (שתי צלעות והזווית שביניהן), ז.צ.ז (צלע ושתי הזוויות שלידה), צ.צ.צ (שלוש צלעות) או צ.צ.ז (שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן). שלוש זוויות שוות אינן מספיקות.
- צ.ז.צ — הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות.
- ז.צ.ז — הצלע חייבת להיות בין שתי הזוויות.
- צ.צ.ז — הזווית חייבת להיות מול הצלע הגדולה מבין השתיים.
דוגמה פתורה
נתון: AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF. לפי איזה משפט △ABC ≅ △DEF?
- הזווית B נמצאת בין הצלעות AB ו-BC
- שתי צלעות והזווית שביניהן
✅ תשובה: צ.ז.צ
🧩 תרגיל פתור מכל רמה
כך נראים התרגילים בעמוד הזה, מהקל אל הקשה. בתרגול עצמו כל תרגיל נוצר מחדש, עם מספרים אחרים.
- 🟢 רמה 1: צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ
נתון: CA = FD, BC = EF, ∠C = ∠F. לפי איזה משפט חפיפה △ABC ≅ △DEF?
אפשרויות: צ.צ.צ · ז.צ.ז · צ.ז.צ
✅ תשובה: צ.ז.צ
הזווית C נמצאת בין הצלעות BC ו-CA: צ.ז.צ
- 🟡 רמה 2: כולל צ.צ.ז
נתון: ∠C = ∠F, BC = EF, BA = ED, BA > BC. לפי איזה משפט חפיפה △ABC ≅ △DEF?
אפשרויות: צ.צ.צ · ז.צ.ז · צ.צ.ז · צ.ז.צ
✅ תשובה: צ.צ.ז
הזווית C נמצאת מול הצלע BA, שהיא הגדולה מבין שתי הצלעות: צ.צ.ז
- 🔴 רמה 3: כולל מקרים שאינם מספיקים
נתון: ∠C = ∠F, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E. לפי איזה משפט חפיפה △ABC ≅ △DEF?
אפשרויות: ז.צ.ז · לא ניתן לקבוע חפיפה · צ.ז.צ · צ.צ.ז · צ.צ.צ
✅ תשובה: לא ניתן לקבוע חפיפה
שלוש זוויות שוות אינן מספיקות — המשולשים דומים אבל לא בהכרח חופפים: לא ניתן לקבוע חפיפה
📚 איפה הנושא ברצף הלימודים
משפטי חפיפת משולשים הוא נושא 10 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה ח׳, בתחום גאומטריה, יחד עם זוויות בין ישרים מקבילים, משפט פיתגורס ומרובעים: מקבילית, מעוין וטרפז.
בפריסת תשפ״ז חפיפת משולשים נלמדת בינואר ובפברואר.
⬅️ לפני כן (כיתה ז׳): סכום הזוויות במשולש · שטח משולש, מקבילית וטרפז · זוויות קודקודיות וזוויות צמודות
➡️ אחר כך (כיתה ט׳): דמיון משולשים · טריגונומטריה במשולש ישר זווית
✏️ תרגול
✅ 0/0🔥 רצף 0נתון: AC = DF, BC = EF, BA = ED. לפי איזה משפט חפיפה △ABC ≅ △DEF?
עוד נושאים לכיתה ח׳
משפטי חפיפת משולשים הוא נושא 10 מתוך 12 במתמטיקה בכיתה ח׳, בתחום גאומטריה, יחד עם זוויות בין ישרים מקבילים, משפט פיתגורס ומרובעים: מקבילית, מעוין וטרפז. בעמוד הזה יש הסבר קצר, טיפים ודוגמה פתורה, ואחריהם תרגול בשלוש רמות: רמה 1 — צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ, רמה 2 — כולל צ.צ.ז, רמה 3 — כולל מקרים שאינם מספיקים.
כל תרגיל נוצר מחדש, ולכן אפשר להמשיך לתרגל כמה שרוצים. אחרי כל תשובה מופיעים בדיקה והסבר קצר; במצב מבחן הבדיקה מגיעה רק בסוף, עם ציון וסקירה של כל השאלות. לדף עבודה מודפס יש דף תשובות נפרד, כך שהילדים יכולים לבדוק את עצמם או שההורה או המורה יבדקו.
שאלות נפוצות
למה ז.ז.ז אינו משפט חפיפה?
שני משולשים יכולים להיות בעלי אותן זוויות אבל בגדלים שונים — אחד הגדלה של השני. הם דומים, אבל לא חופפים.
למה ב-צ.צ.ז הזווית צריכה להיות מול הצלע הגדולה?
אם הזווית מול הצלע הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים עם אותם נתונים, ולכן אי אפשר לקבוע חפיפה.
איפה משפטי חפיפת משולשים נמצא בתוכנית הלימודים של משרד החינוך?
בפריסת תשפ״ז חפיפת משולשים נלמדת בינואר ובפברואר.
מה צריך לדעת לפני שלומדים משפטי חפיפת משולשים?
כדאי להגיע אחרי שמכירים את הנושאים של כיתה ז׳ בתחום גאומטריה: סכום הזוויות במשולש, שטח משולש, מקבילית וטרפז וזוויות קודקודיות וזוויות צמודות. אם אחד מהם עוד לא יושב טוב, שווה לחזור אליו ולתרגל קודם.
מה לומדים אחרי משפטי חפיפת משולשים?
בכיתה ט׳ ממשיכים באותו תחום אל דמיון משולשים וטריגונומטריה במשולש ישר זווית. מי ששולט ברמה 3 כאן מוכן להתחיל את הנושאים האלה.
איך מתרגלים משפטי חפיפת משולשים בכיתה ח׳?
בוחרים רמה (1 — צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ; 2 — כולל צ.צ.ז; 3 — כולל מקרים שאינם מספיקים), פותרים תרגיל אחרי תרגיל ורואים הסבר אחרי כל תשובה. אפשר גם לעבור למצב מבחן של 10 שאלות או להדפיס דף עבודה של 20 תרגילים עם דף תשובות.
שווה להסתכל גם על מתמטיקה לכיתה ח׳, מבחן במתמטיקה לכיתה ח׳, זוויות בין ישרים מקבילים, משפט פיתגורס, מרובעים: מקבילית, מעוין וטרפז, סכום הזוויות במשולש — כיתה ז׳, דמיון משולשים — כיתה ט׳, ומתמטיקה.